"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Равнобедренный треугольник — треугольник с двумя равными сторонами. Эти стороны называют боковыми, а третью — основанием. Главное свойство фигуры: углы при основании равны. Если провести биссектрису угла при вершине, она разделит треугольник на две равные части и одновременно окажется медианой и высотой к основанию. Эти свойства помогают находить неизвестные углы и стороны, а также доказывать равенство треугольников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Например, если в треугольнике ABC стороны AB и AC равны, его можно назвать равнобедренным. Это определение помогает сразу заметить особую пару сторон и использовать свойства такой фигуры.
Две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. Если AB = AC, то AB и AC — боковые стороны, а BC — основание. Основание важно указать вместе с равными сторонами: тогда понятно, какие именно углы и отрезки рассматриваются.
Угол при основании — каждый из двух углов, прилежащих к основанию. Если основание BC, то это углы B и C. Такое название позволяет отличать эти углы от угла, образованного боковыми сторонами.
Угол между равными боковыми сторонами называют углом при вершине. В треугольнике ABC с AB = AC это угол A. Он расположен напротив основания, а его биссектриса помогает увидеть, как устроены две равные части треугольника.
На чертеже равные стороны обычно отмечают одинаковым количеством коротких штрихов. Например, один штрих на AB и один на AC показывают, что AB = AC; основанием тогда будет BC. Основанием может стать и любая другая сторона, если равными выбраны две оставшиеся. Поэтому сначала смотрят на отметки равенства, а уже потом называют основание.
Докажем, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AB = AC, а биссектриса угла A пересекает основание BC в точке D. Рассмотрим треугольники ABD и ACD: стороны AB и AC равны, AD — общая сторона, а углы BAD и DAC равны по определению биссектрисы. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, а их соответствующие углы B и C равны.
Из этого свойства получается обратное утверждение: если в треугольнике два угла равны, то равны и стороны напротив них. Например, если углы B и C равны, то противоположные им стороны AC и AB равны. Обратное утверждение удобно применять, когда известны углы, а требуется доказать равенство сторон или установить, что треугольник равнобедренный.
В доказательстве выше равные треугольники ABD и ACD дают ещё два следствия. Отрезки BD и DC равны, поэтому AD делит основание пополам и является медианой. Углы ADB и ADC равны, а вместе составляют развёрнутый угол 180°, значит, каждый равен 90° и AD перпендикулярна BC; поэтому она является высотой. Так биссектриса угла при вершине одновременно становится медианой и высотой к основанию.
Чтобы находить углы, используем два факта: углы при основании равны, а сумма всех углов треугольника составляет 180°. Если угол при вершине равен 40°, на два угла при основании остаётся 180° − 40° = 140°. Поскольку эти углы равны, каждый составляет 140° : 2 = 70°. Если известен угол при основании, второй такой угол сразу имеет ту же величину, а угол при вершине находится вычитанием из 180°.
| Что рассматриваем | Свойство или признак | Следствие |
|---|---|---|
| Равные стороны | Если две стороны треугольника равны, он равнобедренный. | Равные стороны — боковые, третья сторона — основание. |
| Углы при основании | Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника, равны. | Зная один угол при основании, можно найти другой. |
| Равные углы и противолежащие стороны | Напротив равных углов лежат равные стороны. | Если два угла равны, треугольник равнобедренный. |
| Биссектриса угла при вершине | Она делит треугольник на две равные части. | Одновременно является медианой и высотой к основанию. |
Сначала определите, что дано в задаче: равные стороны, равные углы или биссектриса. Затем выберите соответствующее свойство или признак из таблицы. Следствие подскажет, что ещё можно утверждать и использовать в решении.
В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. Назовите основание, боковые стороны и углы при основании. Здесь уже известна пара равных сторон, поэтому не нужно искать её по чертежу. Сначала определим сторону, которая не входит в эту пару, а затем назовём прилежащие к ней углы.
Ответ: основание — BC, боковые стороны — AB и AC, углы при основании — ABC и BCA. Угол BAC является углом при вершине, так как он образован боковыми сторонами. Такое уточнение помогает не перепутать его с углами при основании.
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании. Их два, и по свойству равнобедренного треугольника они равны. Значит, сначала найдём их общую сумму, а потом разделим её поровну.
Ответ: каждый угол при основании равен 70°. Проверка подтверждает, что полученные значения согласуются с суммой углов треугольника. Делить пополам нужно именно сумму двух углов при основании, а не весь угол 180°.
В треугольнике ABC углы B и C равны. Известно, что AB = 7 см. Найдите AC и объясните, почему треугольник равнобедренный. Здесь равенство дано не для сторон, а для углов, поэтому используем обратное утверждение. Стороны, лежащие напротив равных углов, тоже равны.
Ответ: AC = 7 см. Стороны AB и AC равны, поэтому по определению треугольник ABC равнобедренный. Его основание — BC, а AB и AC — боковые стороны.
Ошибка: назвать основанием любую сторону, не проверив, какие две стороны равны. Её допускают, когда ориентируются только на положение стороны на рисунке или считают, что основание обязано быть снизу. Сверьте равные стороны: основание — та сторона, которая не входит в выбранную равную пару.
Ошибка: считать, что угол при вершине равен углам при основании. Равны между собой именно два угла, прилежащие к основанию; угол между боковыми сторонами в общем случае имеет другую величину. Проверьте, какие стороны образуют каждый угол, и используйте сумму углов 180°.
Ошибка: перепутать сторону с углом, лежащим напротив неё. Такое бывает, если смотреть только на соседство сторон и углов, а не на их положение относительно друг друга. Чтобы проверить рассуждение, найдите вершину угла: противоположная сторона не проходит через неё; напротив равных сторон находятся равные углы.
Ошибка: утверждать, что любая линия, проведённая к основанию, обязательно будет и медианой, и высотой, и биссектрисой. Это три разных свойства, и они не возникают только потому, что отрезок соединяет вершину с основанием. Все три свойства имеет именно биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника; проверьте, откуда она проведена и какой угол делит пополам.
Для этой темы понадобятся понятия стороны и угла треугольника, а также биссектрисы, медианы и высоты. Биссектриса делит угол пополам, медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а высота перпендикулярна этой стороне. Ещё нужно знать признаки равенства треугольников: с их помощью доказывают свойства равнобедренной фигуры.
Свойства равнобедренного треугольника пригодятся при нахождении неизвестных сторон и углов. Они помогают доказывать равенство треугольников и решать задачи на геометрические построения. Умение замечать равные углы и стороны станет опорой для дальнейших доказательств.
Какая сторона равнобедренного треугольника называется основанием?
Основание — сторона, которая не входит в выбранную пару равных сторон. Например, если AB = AC, основание — BC. Если равными выбраны другие две стороны, основанием станет третья сторона.
Почему углы при основании равнобедренного треугольника равны?
Проведём биссектрису угла при вершине. Она образует два треугольника с равными боковыми сторонами, общей биссектрисой и равными углами между ними. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому соответствующие углы при основании равны.
Как найти углы равнобедренного треугольника, если известен угол при вершине?
Нужно вычесть угол при вершине из 180°, так как сумма углов треугольника равна 180°. Оставшуюся величину разделить пополам: углы при основании равны. Например, при угле вершины 40° каждый угол при основании равен (180° − 40°) : 2 = 70°.
Верно ли, что равные углы треугольника лежат напротив равных сторон?
Да. Если два угла треугольника равны, то равны и стороны, лежащие напротив них. Это обратное утверждение к свойству равнобедренного треугольника: напротив равных сторон лежат равные углы.
Почему биссектриса угла при вершине одновременно является медианой и высотой?
Биссектриса делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника. Поэтому она делит основание на равные отрезки, а значит, является медианой. Образованные углы у основания биссектрисы равны и в сумме дают 180°, поэтому каждый равен 90°; значит, биссектриса также является высотой.
5.1. Равнобедренный треугольник
