3.1. Равнобедренный треугольник

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Например, если AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный. Это равенство сразу подсказывает, какие элементы можно сравнивать при решении задач.

Боковые стороны — две равные стороны равнобедренного треугольника. В записи AB = AC отрезки AB и AC являются боковыми сторонами. По ним обычно определяют вершину треугольника и выбирают, какие углы или другие элементы нужно сопоставить.

Основание равнобедренного треугольника — сторона, которая не входит в пару равных боковых сторон. Если AB = AC, то основание — BC. Угол, образованный боковыми сторонами AB и AC, называется углом при вершине A.

Углы при основании находятся у концов основания и прилежат к нему. Для основания BC это углы B и C. Они отличаются от угла при вершине A: именно углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.

Как это устроено

Чтобы распознать равнобедренный треугольник, достаточно установить равенство двух его сторон. Например, из AB = AC следует, что вершиной является A, боковыми сторонами — AB и AC, а основанием — BC. Тогда углы B и C становятся углами при основании, а угол A — углом при вершине.

Докажем равенство углов при основании. Пусть в треугольнике ABC AB = AC, а из вершины A проведена биссектриса AD к основанию BC. Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому ∠BAD = ∠DAC; кроме того, AB = AC и AD — общая сторона.

Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, равны их соответствующие углы: ∠ABD = ∠DCA. Эти углы являются углами B и C исходного треугольника, поэтому углы при основании равны. Причина свойства — не внешний вид фигуры, а равенство двух составных треугольников.

Работает и обратное утверждение: если два угла треугольника равны, то равны стороны, лежащие напротив этих углов. Например, из ∠B = ∠C следует AC = AB, потому что стороне AC противостоит угол B, а стороне AB — угол C. Значит, треугольник ABC равнобедренный, а его основание — BC.

Пусть AM — медиана к основанию BC, то есть M — середина BC и BM = MC. В треугольниках ABM и ACM равны AB и AC, равны BM и MC, а AM — общая сторона, поэтому треугольники равны по трём сторонам. Отсюда ∠BAM = ∠MAC, значит, AM — биссектриса; также ∠AMB = ∠CMA, а эти углы смежные, поэтому оба равны 90° и AM — высота.

Эти свойства превращают геометрические условия в понятный план решения. Равенство углов при основании позволяет сразу переносить известную величину с одного угла на другой, а медиана к основанию даёт перпендикуляр и деление угла пополам. Поэтому можно находить неизвестные углы, доказывать равенство отрезков и применять прямоугольные треугольники.

Равнобедренный треугольник: определение и свойства

Сначала определите, какие элементы указаны в условии: стороны, углы или медиана. Затем найдите строку таблицы с подходящим свойством и проверьте, совпадает ли основание с указанной стороной.

Нельзя применять свойство только потому, что отрезок называется медианой: он должен быть проведён из вершины к основанию равнобедренного треугольника.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. Угол B равен 48°. Найдите угол C.

1. Из равенства AB = AC заключаем, что основание треугольника — BC.
2. Углы B и C прилежат к основанию, поэтому они равны.
3. Следовательно, ∠C = ∠B = 48°.

Ответ: 48°.

Задача 2

В треугольнике два угла равны 55° и 55°. Докажите, что треугольник равнобедренный, и укажите его основание.

1. Обозначим равные углы как ∠A и ∠B.
2. Сторона BC лежит напротив угла A, а сторона AC — напротив угла B.
3. По обратному утверждению BC = AC, значит, треугольник равнобедренный.
4. Равные стороны сходятся в точке C, поэтому основанием является сторона AB.

Ответ: треугольник равнобедренный, основание AB.

Задача 3

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Докажите, что AM перпендикулярна BC и делит угол A пополам.

1. Так как AM — медиана, M — середина BC, поэтому BM = MC.
2. Боковые стороны равны: AB = AC, а AM — общая сторона треугольников ABM и ACM.
3. Треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам.
4. Из равенства треугольников получаем ∠BAM = ∠MAC, значит, AM — биссектриса.
5. Также ∠AMB = ∠CMA. Они смежные, поэтому каждый равен 90°, следовательно, AM ⟂ BC.

Ответ: AM является и биссектрисой угла A, и высотой к основанию BC.

Типичные ошибки

Иногда основанием называют любую выбранную сторону треугольника. Так происходит, если забывают сначала найти пару равных сторон. Проверьте себя: основание не должно быть одной из них.

Другая ошибка — считать равным угол при вершине и угол при основании. Равны два угла, расположенные у концов основания, а угол между боковыми сторонами может иметь другую величину. Полезно сначала назвать основание, а уже потом обозначить углы.

При равных углах некоторые ученики приравнивают прилежащие стороны. Это неверно: равными будут стороны, лежащие напротив равных углов. Чтобы не ошибиться, мысленно проведите линию от угла к стороне напротив него.

Нельзя переносить свойство медианы к основанию на любую медиану. Биссектрисой и высотой она становится только тогда, когда проведена из вершины равнобедренного треугольника к его основанию. Проверьте одновременно и вид треугольника, и направление медианы.

Связь с другими темами

Для изучения равнобедренного треугольника нужны знания об элементах треугольника, сумме его углов и признаках равенства треугольников. Эти правила объясняют, почему появляются равные углы и откуда берётся перпендикуляр.

Свойства равнобедренного треугольника применяются при доказательстве геометрических утверждений и нахождении неизвестных углов и сторон. Они помогают заменять сложную фигуру двумя равными треугольниками.

Тема подготавливает изучение равностороннего треугольника, а также дальнейшую работу с высотами, медианами и биссектрисами. В равностороннем треугольнике свойства равнобедренного проявляются сразу для каждой стороны.

Что запомнить

• В равнобедренном треугольнике две стороны равны.
• Равные стороны называются боковыми, третья сторона — основанием.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Против равных углов лежат равные стороны.
• Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой.
• Равенство двух углов треугольника позволяет заключить, что он равнобедренный.