"Геометрия", Погорелов А.В.
Равнобедренный треугольник — треугольник с двумя равными сторонами; третья сторона может быть как другой длины, так и равной им. Равные стороны называют боковыми, а третью — основанием. Главное свойство: углы при основании равны. Если провести из вершины к основанию биссектрису, она одновременно окажется медианой и высотой. Эти факты помогают находить неизвестные углы, распознавать равнобедренные треугольники и доказывать равенство их частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Третья сторона может отличаться от них, а может быть им равна: во втором случае треугольник равносторонний. Определение помогает понять, что для равнобедренности достаточно равенства хотя бы двух сторон.
Две равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми. На чертеже равенство обычно отмечают одинаковыми короткими штрихами на этих сторонах; стороны также обозначают буквами, например AB = AC. Такая отметка сразу показывает, какие стороны нужно использовать при доказательстве или вычислении.
Третью сторону, не выбранную в качестве боковой, называют основанием равнобедренного треугольника. Если равные стороны AB и AC, то основание — BC. У равностороннего треугольника любая сторона может быть основанием, поскольку остальные две тоже равны.
Угол, прилежащий к основанию, называется углом при основании; таких углов два. Угол, противоположный основанию и образованный боковыми сторонами, — угол при вершине. Эти названия помогают не перепутать углы, равенство которых нужно применять в задаче.
Пусть AB = AC, а BC — основание. Проведём из вершины A биссектрису AD — отрезок, делящий угол A пополам. Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними: AB = AC, AD — общая сторона, а углы BAD и DAC равны. Поэтому соответствующие углы при основании равны, то есть угол B равен углу C.
Существует и обратный способ распознать равнобедренный треугольник. Если в треугольнике два угла равны, то лежащие напротив них стороны равны. Это следует из свойства: против большего угла лежит большая сторона, а при равных углах противоположные стороны не могут различаться по длине. Значит, равенство двух углов доказывает равенство двух сторон.
В рассмотренных треугольниках ABD и ACD равны не только углы, но и соответствующие отрезки BD и DC. Поэтому AD делит основание BC пополам, а значит, является медианой. Кроме того, углы ADB и ADC равны и вместе составляют развёрнутый угол в 180°, следовательно, каждый равен 90°. Значит, AD перпендикулярна BC и является высотой.
Равенство углов при основании удобно для нахождения неизвестных углов. Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому если угол при вершине известен, сначала вычтите его из 180°, а остаток разделите поровну между двумя углами при основании. Если известен один из углов при основании, второй такой же, а угол при вершине равен 180° минус их сумма.
Чтобы распознать равнобедренный треугольник, проверьте, равны ли две его стороны или два его угла. В первом случае третья сторона будет основанием, а равные стороны — боковыми. Во втором случае равны стороны, лежащие напротив равных углов, и третья сторона становится основанием. Не делайте вывод о равенстве всех сторон, если доказано равенство только двух.
| Что известно или рассматривается | Вывод |
|---|---|
| Две стороны треугольника равны | Треугольник равнобедренный; третья сторона — основание |
| Два угла треугольника равны | Противоположные им стороны равны |
| Биссектриса угла при вершине проведена к основанию | Она является медианой и высотой |
| Углы при основании | Они равны |
Сначала найдите в условии известную сторону, угол или проведённый отрезок. Затем выберите соответствующую строку и примените вывод, не меняя местами условие и заключение. Для доказательства можно раскрыть вывод через равенство треугольников.
Задача 1. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 7 см, а основание — 10 см. Указать основание и боковые стороны. По определению боковые стороны — это равные стороны, а оставшаяся сторона является основанием. Длина сама по себе не задаёт название стороны, поэтому сверяем данные условия с определениями.
Ответ: основание — сторона длиной 10 см, боковые стороны — две стороны по 7 см.
Задача 2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Найти углы при основании. Они равны по свойству равнобедренного треугольника, а вместе с углом при вершине составляют 180°. Сначала найдём сумму двух равных углов, затем разделим её на два.
Ответ: углы при основании равны 70° и 70°. Проверка: 40° + 70° + 70° = 180°.
Задача 3. В треугольнике ABC AB = AC, а биссектриса угла A пересекает BC в точке D. Доказать, что BD = DC и AD перпендикулярна BC. Сравним треугольники ABD и ACD: это позволит установить свойства отрезков, которые в них соответствуют.
Ответ: BD = DC, а AD ⟂ BC. Первый результат означает, что AD — медиана к основанию, второй — что она является высотой.
Называть основанием только нижнюю или горизонтальную сторону на рисунке неверно: положение треугольника можно изменить. Ошибка возникает, когда ориентируются на чертёж, а не на равные стороны. Найдите стороны с одинаковыми отметками и назовите основанием третью.
Из равенства двух сторон не следует, что равны все три. Иногда определение равностороннего треугольника ошибочно переносят на любой равнобедренный. Проверьте данные: третья сторона равна боковым только тогда, когда это отдельно известно или доказано.
Угол при вершине путают с углами при основании, потому что все они находятся внутри одного треугольника. Сначала установите, какая сторона выбрана основанием: два угла у её концов будут углами при основании, а противоположный ей угол — при вершине. Такая проверка помогает выбрать нужное свойство.
Не любая медиана или высота равнобедренного треугольника автоматически является биссектрисой. Совпадение этих свойств доказано для отрезка, проведённого из вершины к основанию. Перед выводом проверьте, откуда проведён отрезок и к какой стороне он направлен.
Для изучения темы нужны определения треугольника, равных отрезков и равных углов, а также свойство суммы углов треугольника. Без последнего нельзя правильно находить неизвестные углы. При доказательствах требуется умение применять признаки равенства треугольников.
Свойства равнобедренного треугольника помогают доказывать равенство отрезков и углов в более сложных задачах. Они пригодятся и при геометрических построениях: биссектриса вершины делит основание пополам и перпендикулярна ему. Эти же особенности связаны с симметрией треугольника относительно проведённой линии.
Как определить основание равнобедренного треугольника?
Сначала найдите две равные стороны: это боковые стороны. Третья сторона называется основанием, а в равностороннем треугольнике основанием можно считать любую сторону.
Почему углы при основании равны?
Проведите биссектрису угла между равными боковыми сторонами. Она образует два треугольника, равных по двум сторонам и углу между ними. Соответствующие углы при основании в этих треугольниках равны.
Можно ли по равенству двух углов доказать, что треугольник равнобедренный?
Да. Если два угла треугольника равны, то равны и противоположные им стороны. Значит, у треугольника есть две равные стороны, и он равнобедренный.
Почему биссектриса угла при вершине одновременно является медианой и высотой?
Она делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника. Поэтому отрезки основания равны, а углы у основания биссектрисы оказываются прямыми. Следовательно, биссектриса делит основание пополам и перпендикулярна ему.
Может ли равносторонний треугольник считаться равнобедренным?
Да. У равностороннего треугольника равны все три стороны, поэтому в нём, в частности, есть две равные стороны. Любую пару можно назвать боковыми сторонами, а оставшуюся сторону — основанием.
23. Равнобедренный треугольник
