22. Второй признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам

Определения и обозначения

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого, то треугольники равны. Иначе говоря, совпасть должны три элемента: одна сторона и углы у обоих её концов. Это правило нужно, чтобы доказать равенство треугольников, не сравнивая заранее все их стороны и углы.

Прилежащие к стороне углы — углы треугольника, вершины которых находятся на концах этой стороны. Например, к стороне AB прилежат углы A и B, а угол C к ней не прилежит. Это определение помогает выбрать именно те углы, которые требуются для второго признака.

Соответственные элементы треугольников — стороны и углы, занимающие одинаковое положение при сопоставлении вершин. Если вершине A соответствует D, а B соответствует E, то сторона AB соответствует DE, угол A — углу D, угол B — углу E. Такое сопоставление нужно, чтобы не перепутать равные элементы при записи решения.

Как это устроено

В признаке берут два угла именно при концах выбранной стороны, потому что каждый из них задаёт направление одной из сторон треугольника, выходящих из этого конца. Если известен только угол при одном конце, направление второй стороны у другого конца остаётся неизвестным. Тогда вершину треугольника можно расположить по-разному, и одного совпадения данных недостаточно. Два угла вместе с общей для них стороной задают оба направления.

Представим наложение одного треугольника на другой. Сначала совместим равные стороны: их концы совпадут, поскольку длины сторон одинаковы. В каждом конце равной стороны соответствующие углы равны, поэтому стороны-лучи, образующие эти углы, направлены одинаково. Значит, при наложении совпадают не только отрезки, но и лучи, выходящие из их концов.

Каждый треугольник получается пересечением двух таких лучей. Поскольку соответствующие лучи совпадают, их точка пересечения тоже будет общей — это третья вершина обоих треугольников. Все три вершины совпали, поэтому совпали и треугольники. Так объясняется, почему заданные сторона и два угла при её концах определяют треугольник однозначно.

Чтобы правильно сопоставить вершины, начни с концов равных сторон и проверь, какие углы при них равны. Например, если AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E, то A соответствует D, B соответствует E, а оставшаяся вершина C — F. Поэтому запись равенства будет △ABC = △DEF. Порядок букв показывает соответствие и помогает верно назвать остальные равные элементы.

В доказательстве сначала укажи равную сторону, затем запиши равенства двух углов при её концах. Проверь, что сторона и углы сопоставлены в одном порядке в обоих треугольниках. После этого назови второй признак и сделай вывод о равенстве треугольников. Если нужно доказать равенство ещё каких-то сторон или углов, сначала отметь, что они являются соответствующими элементами уже равных треугольников.

Признаки равенства треугольников

Сначала найди в условии набор известных равных элементов, а затем сравни его со вторым столбцом. У второго признака должны быть именно два угла при концах одной и той же стороны, а не произвольные два угла. После вывода о равенстве треугольников можно использовать равенство всех соответствующих элементов.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известно, что AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Докажите, что треугольники равны.

1. Равные стороны AB и A₁B₁ сопоставляют вершины A с A₁, а B с B₁.
2. Углы A и A₁ стоят при первых концах этих сторон, а углы B и B₁ — при вторых. Значит, заданы оба угла, прилежащие к равным сторонам.
3. По второму признаку равенства треугольников △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Задача 2. В треугольниках ABC и DEF сторона AB равна DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E. Если ∠A = 3x + 10°, а ∠D = 70°, найдите x и докажите равенство треугольников.

1. Так как ∠A = ∠D, получаем 3x + 10° = 70°. Вычитаем 10° и делим на 3: x = 20.
2. По условию AB = DE и равны углы при концах этих сторон: ∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Соответствие вершин такое: A↔D, B↔E, C↔F.
3. Все условия второго признака выполнены, поэтому △ABC = △DEF.

Ответ: x = 20; треугольники равны по второму признаку.

Задача 3. Точка M лежит на отрезке AB, причём AM = BM. Лучи MC и MD расположены по разные стороны от AB, ∠MAC = ∠MBD и ∠AMC = ∠BMD. Докажите, что AC = BD.

1. Рассмотрим △AMC и △BMD. Их стороны AM и BM равны по условию.
2. Углы при концах этих сторон также равны: угол A равен углу B, а угол при M в первом треугольнике равен углу при M во втором.
3. По второму признаку △AMC = △BMD. Стороны AC и BD — соответствующие, поэтому они равны.

Ответ: AC = BD.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать прилежащими углы, один из которых расположен при третьей вершине. Так бывает, если ученик смотрит только на рисунок и не проверяет вершины углов. Для самопроверки назови концы выбранной стороны: вершины обоих нужных углов должны находиться именно там.

Ошибка: сопоставить вершины в разном порядке, например записать равенство треугольников так, что равные стороны окажутся несоответственными. Это происходит, когда запись делают до проверки углов. Составь пары вершин по концам равных сторон и равным углам, а затем поставь их в одинаковом порядке в названиях треугольников.

Ошибка: считать достаточными одну равную сторону и один равный угол. Иногда один угол кажется главным, но второй признак требует два угла у концов стороны. Проверь список данных: должны быть одна сторона и оба прилежащих к ней угла, иначе этот признак применять нельзя.

Ошибка: сразу утверждать, что нужные стороны равны, не назвав признак и соответствие вершин. Так пропускается обоснование того, почему элементы относятся к равным треугольникам. Сначала запиши все три условия и вывод по признаку, затем укажи соответствующие стороны или углы.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, что такое треугольник, его стороны и углы, и уметь обозначать равные элементы. Также важно понимать, какие элементы стоят при одной и той же вершине или стороне. Без этого легко перепутать прилежащие углы и соответствующие элементы.

Второй признак связан с первым признаком равенства треугольников: в обоих случаях сравнивают конкретные элементы, а не весь чертёж целиком. Для объяснения признака используют наложение фигур — при совпадении соответствующих вершин совпадают и сами треугольники. Это помогает понимать, почему из равенства отдельных данных следует равенство целых фигур.

В дальнейшем признак пригодится, когда нужно доказать равенство отрезков или углов. Сначала находят два треугольника и подтверждают их равенство, а затем делают вывод о равенстве нужных соответствующих элементов. Так можно решать задачи, в которых искомые отрезки напрямую не сравниваются.

Что запомнить

• Для второго признака сравнивают одну сторону и два прилежащих к ней угла.
• Прилежащие углы имеют вершины на концах выбранной стороны.
• Все три равных элемента должны быть сопоставлены правильно.
• При выполнении условий второго признака треугольники равны.
• У равных треугольников равны соответствующие стороны и углы.