5. Равнобедренный треугольник

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Например, если в треугольнике ABC AB = AC, то он равнобедренный. Равенство сторон обычно отмечают одинаковыми штрихами на чертеже. Такое обозначение помогает сразу увидеть, какие свойства можно применить.

Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами. В треугольнике ABC с AB = AC боковые стороны — AB и AC, а их общая вершина A называется вершиной треугольника. По боковым сторонам удобно определить положение остальных элементов и понять, от какой вершины проводить нужную линию.

Основанием равнобедренного треугольника называют третью сторону, отличную от двух равных боковых. Если AB = AC, то основание — BC. Оно лежит напротив общей вершины боковых сторон, поэтому определение основания помогает не перепутать его с боковой стороной.

Углы, прилежащие к основанию, называются углами при основании: для основания BC это ∠B и ∠C. Угол между боковыми сторонами, ∠A, лежит против основания и называется углом при вершине. Эти названия нужны, чтобы точно описывать, какие углы равны и какие вычисления следует выполнить.

Как это устроено

На чертеже равные стороны отмечают одинаковым числом штрихов. Если в треугольнике ABC одинаково отмечены AB и AC, значит, они боковые, а оставшаяся сторона BC — основание. Вершина A, где сходятся боковые стороны, находится напротив основания. Поэтому сначала ищут отметки равенства, а уже затем называют основание и углы при нём.

Докажем, что углы при основании равны. Проведём из вершины A биссектрису AD к основанию BC: биссектриса делит угол пополам, значит, ∠BAD = ∠DAC. Треугольники BAD и CAD равны по двум сторонам и углу между ними: AB = AC, AD — общая сторона, а углы при A равны. Следовательно, соответствующие углы при основании, ∠B и ∠C, тоже равны.

Та же пара равных треугольников объясняет сразу три свойства биссектрисы AD. Из их равенства следует BD = DC, поэтому D — середина основания и AD является медианой. Углы ADB и ADC равны, а вместе образуют развёрнутый угол 180°. Значит, каждый из них прямой, AD перпендикулярна BC и является высотой.

Равенство углов можно использовать и в обратную сторону. Если в треугольнике ABC ∠B = ∠C, то напротив этих углов лежат стороны AC и AB. По теореме о сторонах и углах треугольника эти стороны равны, поэтому ABC равнобедренный, а BC — его основание. Так по известным углам можно доказать равенство сторон, не измеряя их.

Чтобы находить углы, пользуйтесь двумя фактами: углы при основании равны, а сумма углов треугольника равна 180°. Если угол при вершине равен 40°, то на два равных угла у основания остаётся 180° − 40° = 140°. Каждый из них равен 140° : 2 = 70°. Если же известен один угол при основании, сначала учтите равенство второго, а затем вычтите оба из 180°.

Основные свойства равнобедренного треугольника

Сначала найдите в таблице известный элемент: равные стороны, углы или биссектрису. Затем примените соответствующее свойство и проверьте, к какому треугольнику или углу оно относится. Таблица помогает выбрать нужный факт, но обозначения на чертеже всё равно нужно прочитать внимательно.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. Назовите боковые стороны, основание и углы при основании. Здесь равенство уже дано, поэтому нет необходимости искать стороны по рисунку: остаётся сопоставить обозначения с определениями.

1. AB и AC — равные стороны, значит, это боковые стороны.
2. Третья сторона BC — основание.
3. У основания BC находятся углы ∠B и ∠C, это углы при основании.

Ответ: боковые стороны AB и AC, основание BC, углы при основании — ∠B и ∠C. Угол ∠A образован боковыми сторонами и лежит против основания. Такая проверка по вершинам помогает не перепутать угол при вершине и углы при основании.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании. Поскольку равные боковые стороны сходятся в вершине, данный угол не является углом при основании. Два остальных угла равны, а их сумма равна 180° − 40°.

1. Найдём сумму углов при основании: 180° − 40° = 140°.
2. Разделим эту сумму поровну между двумя равными углами: 140° : 2 = 70°.
3. Проверим результат: 40° + 70° + 70° = 180°.

Ответ: каждый угол при основании равен 70°. Делить пополам нужно оставшуюся после вычитания сумму, а не данный угол при вершине. Проверка суммой 180° подтверждает, что вычисления согласуются с правилом для любого треугольника.

Задача 3. В треугольнике ABC углы B и C равны. Докажите, что AB = AC, и определите основание. Равные углы находятся при вершинах B и C, поэтому нужно посмотреть, какие стороны лежат напротив них. Именно к этим сторонам применяется обратная теорема.

1. Сторона, лежащая напротив ∠B, — AC; напротив ∠C лежит AB.
2. Так как ∠B = ∠C, против равных углов лежат равные стороны: AC = AB.
3. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AC и AB; третья сторона BC — основание.

Ответ: AB = AC, основание — BC. При доказательстве полезно сначала определить стороны, противоположные равным углам, и только затем записать их равенство. Так меньше риск поменять местами основание и боковую сторону.

Типичные ошибки

Ошибка: основанием называют любую выбранную сторону. Так делают, потому что слово «основание» иногда воспринимают как обозначение стороны, на которой нарисован треугольник. Но в равнобедренном треугольнике основание — именно третья сторона, отличная от двух равных боковых. Проверьте себя: найдите равные стороны, а основанием назовите оставшуюся.

Ошибка: угол при вершине путают с углами при основании. Это происходит, если называют углы, не определив сначала равные стороны. Вершина, где сходятся боковые стороны, задаёт угол при вершине, а два угла у концов основания — углы при основании. Сверьте названия с расположением сторон на чертеже.

Ошибка: считают, что биссектриса, медиана и высота совпадают в любом треугольнике. Эти линии имеют разные определения и обычно не совпадают; особый результат относится к биссектрисе угла при вершине равнобедренного треугольника, проведённой к основанию. Перед применением свойства проверьте и вид треугольника, и вершину, из которой проведена линия. Если эти условия не выполнены, совпадение нужно доказывать отдельно.

Ошибка: при поиске углов делят пополам угол при вершине, хотя требуется найти углы при основании. Возможно, путают действие биссектрисы с равенством углов при основании. Сначала запишите, какая величина известна, затем используйте сумму углов 180° и равенство двух углов при основании. В конце сложите найденные углы и проверьте результат.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны обозначения треугольника, признаки равенства треугольников и знание о том, что сумма его углов равна 180°. Равенство двух треугольников позволяет обосновать свойства биссектрисы, а сумма углов — вычислять неизвестные углы. Поэтому полезно уметь находить соответствующие стороны и углы в равных треугольниках.

Свойства равнобедренного треугольника помогают доказывать теоремы и решать задачи на углы и длины сторон. Равенство углов может привести к равенству сторон, а проведённая биссектриса — к появлению двух равных треугольников. Эти рассуждения пригодятся в следующих темах о равностороннем треугольнике и замечательных линиях треугольника.

Что запомнить

• В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.
• Третья сторона называется основанием.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Биссектриса угла при вершине является медианой и высотой к основанию.
• Если два угла треугольника равны, то против них лежат равные стороны.
• Сумма углов любого треугольника равна 180°.