9. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой.

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — две пересекающиеся прямые, образующие прямые углы, то есть углы по 90°. Их перпендикулярность обозначают так: a ⟂ b. Это понятие помогает отличать пересечение под прямым углом от пересечения под любым другим углом.

Перпендикуляр к прямой из точки — отрезок, соединяющий эту точку с прямой и перпендикулярный ей. Например, если отрезок AH проведён из точки A к прямой a и образует с ней прямой угол, то AH — перпендикуляр. Он нужен, чтобы задать точное расстояние от точки до прямой.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую. В примере с отрезком AH основанием будет точка H, лежащая на прямой a. Это название помогает не путать конец отрезка на прямой с точкой, из которой перпендикуляр провели.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если AH перпендикулярен a, расстояние от A до a равно длине AH. Такое определение позволяет сравнивать расстояния, не принимая за них длины произвольных отрезков.

Как это устроено

Чтобы распознать перпендикулярные прямые, сначала убедись, что они пересекаются, а затем проверь угол между ними. Он должен быть равен 90°, то есть составлять четверть полного оборота. Одного факта пересечения недостаточно: две прямые могут пересечься и под острым, и под тупым углом. Поэтому при проверке важны оба условия — пересечение и прямой угол.

Достаточно установить, что один из углов при пересечении прямых прямой, потому что остальные углы связаны с ним. Каждый соседний угол смежный с прямым и вместе с ним составляет 180°, значит, тоже равен 90°. Угол напротив данного называется вертикальным и равен ему. Так, все четыре угла оказываются прямыми, а значит, прямые перпендикулярны.

Чтобы провести перпендикуляр из точки к прямой, надо соединить точку с прямой отрезком так, чтобы угол между отрезком и прямой был равен 90°. Точку пересечения обозначают, например, буквой H: если из A проведён отрезок AH к прямой a, то H лежит на a и является основанием перпендикуляра. При построении отмечают прямой угол, чтобы не спутать перпендикуляр с наклонным отрезком. Из заданной точки к заданной прямой можно провести только один такой перпендикуляр.

Расстоянием считают именно длину перпендикуляра, потому что он даёт кратчайшее соединение точки с прямой. Наклонный отрезок тоже соединяет их, но его длина больше, поэтому он не показывает расстояние в принятом геометрическом смысле. Например, если от A к прямой проведены перпендикуляр AH и наклонный отрезок AC, расстояние от A до прямой равно AH, а не AC. Значит, для нахождения расстояния сначала нужно определить основание перпендикуляра.

Перпендикулярность относится не только к двум бесконечным прямым: отрезок тоже может быть перпендикулярен прямой. Для этого отрезок должен образовать с прямой прямой угол в точке пересечения. Если из конца отрезка опущен перпендикуляр на прямую, то говорят, что отрезок перпендикулярен этой прямой. Само слово «перпендикуляр» в задаче важно соотносить с конкретным отрезком и углом, который он образует.

Перпендикулярные прямые и перпендикуляр к прямой

Таблица помогает различить прямые, отрезок-перпендикуляр, его основание и расстояние. При чтении строки сначала найди, о каком объекте идёт речь, затем проверь его определяющий признак или характеристику. Например, расстояние — это не точка и не любой отрезок, а длина перпендикуляра.

Разбор задач

Задача 1. Прямые a и b пересекаются. Один из образованных углов равен 90°. Определите, перпендикулярны ли прямые.

1. По условию прямые пересекаются, значит, образованные ими углы связаны как смежные и вертикальные.
2. Каждый угол, смежный с углом 90°, равен 180° − 90° = 90°.
3. Вертикальный угол равен исходному, поэтому он тоже равен 90°. Все углы прямые, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: да, a ⟂ b. Одного прямого угла достаточно, потому что свойства смежных и вертикальных углов определяют величины остальных.

Задача 2. Из точки A проведён перпендикуляр AH к прямой a. Назовите основание перпендикуляра и запишите, какой отрезок задаёт расстояние от A до a.

1. Перпендикуляр здесь — отрезок AH: по условию он проведён из A к прямой a и перпендикулярен ей.
2. Основанием является точка, в которой этот отрезок встречает прямую. Это точка H.
3. Расстояние от A до a равно длине перпендикуляра, поэтому его задаёт отрезок AH, а численное значение записывают как AH.

Ответ: основание — H; расстояние от A до a равно AH. Не путай точку H с длиной отрезка AH: основание — точка, а расстояние — длина.

Задача 3. Точка A находится вне прямой a. На прямой отмечены точки B и C, причём AB ⟂ a, а AC не перпендикулярен a. Сравните расстояния от A до прямой a и длины AB, AC.

1. Отрезок AB перпендикулярен прямой a, значит, он является перпендикуляром, проведённым из A.
2. По определению расстояние от A до a равно длине этого перпендикуляра: оно равно AB.
3. Отрезок AC наклонный, поэтому его длина не является расстоянием от A до a. Наклонный отрезок длиннее перпендикуляра, значит, AB < AC.

Ответ: расстояние от A до a равно AB, а AB < AC. Величина AC — длина соединяющего отрезка, но не расстояние от точки до прямой.

Типичные ошибки

Ошибка — называть перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Её допускают, когда не проверяют величину угла и считают самого пересечения достаточным. Проверь себя: прямые перпендикулярны только при угле 90°; например, пересечение под острым углом этому условию не отвечает.

Иногда перпендикуляром называют только прямую, забывая, что из точки к прямой проводят конкретный отрезок. Так происходит, если не различать бесконечную прямую и соединяющий точку с ней отрезок. Проверь, указаны ли сам отрезок и прямой угол, который он образует с заданной прямой.

Основание перпендикуляра можно ошибочно принять за точку, из которой его проводят. Путаница возникает потому, что обе точки участвуют в построении одного отрезка. Проверь, где расположена названная точка: исходная точка может быть вне прямой, а основание обязательно лежит на ней.

Ещё одна ошибка — считать расстоянием длину любого отрезка от точки до прямой. Наклонный отрезок действительно соединяет точку с прямой, поэтому его легко принять за расстояние. Чтобы проверить себя, найди прямой угол: только длина отрезка, перпендикулярного прямой, задаёт расстояние от точки до неё.

Связь с другими темами

Для изучения перпендикулярности нужно уметь измерять углы, узнавать прямой угол и различать смежные и вертикальные углы. Эти знания объясняют, почему по одному углу 90° можно сделать вывод обо всех углах при пересечении прямых. Если свойства углов пока вызывают трудности, повтори их перед решением задач на перпендикулярность.

Перпендикуляры используют при построениях циркулем и линейкой: например, когда нужно провести прямую под прямым углом. Понятие расстояния от точки до прямой понадобится в задачах о расстояниях и треугольниках. Оно помогает точно определять высоту и отличать перпендикулярный отрезок от наклонного.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под углом 90°.
• Запись a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны.
• Перпендикуляр из точки к прямой образует с ней прямой угол.
• Основание перпендикуляра — точка, в которой он пересекает прямую.
• Из точки к данной прямой можно провести единственный перпендикуляр.
• Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра.