8. Смежные и вертикальные углы.

Определения и обозначения

Смежные углы — два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Чтобы распознать такую пару, проверьте, что углы стоят рядом и их нес общие стороны образуют одну прямую. Это определение помогает понять, когда можно использовать сумму 180°.

Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. При пересечении двух прямых такие углы расположены напротив друг друга, а не по соседству. Определение позволяет находить пары равных углов даже без измерения их транспортиром.

Противоположные лучи — лучи с общей начальной точкой, лежащие на одной прямой и направленные в разные стороны. В определении смежных углов именно такими должны быть две стороны, не являющиеся общими. Если они не образуют прямую, углы не смежные, даже если выглядят похожими на рисунке.

Как это устроено

У смежных углов общая сторона, а две другие лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Если обойти обе внутренние области этих углов, получится половина полного оборота, то есть развёрнутый угол. Его градусная мера равна 180°, поэтому меры смежных углов складываются в 180°. Это объясняет, почему сумма остаётся постоянной, хотя отдельные углы могут быть разными.

Если один из смежных углов обозначить α, то второй должен дополнить его до 180°. Поэтому его мера равна 180° − α: известную часть развёрнутого угла вычитают из целого. Например, если угол прямой и равен 90°, смежный с ним равен 180° − 90° = 90°. Значит, оба угла прямые, потому что каждый занимает половину развёрнутого угла.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла вокруг общей точки. Вертикальные пары находятся напротив: у одного угла стороны идут в одном направлении по двум прямым, а у противоположного — по продолжениям этих сторон. Поэтому получается две пары вертикальных углов. Соседние углы в эти пары не входят: у них есть общая сторона.

Вертикальные углы равны не просто из-за того, что стоят напротив. Возьмём два таких угла и один из углов между ними: первый и третий образуют с ним смежные пары. Каждый из них вместе с этим общим соседом даёт 180°. Если из 180° вычесть одну и ту же величину, получатся равные результаты. Значит, меры вертикальных углов равны.

Если известна мера одного угла при пересечении прямых, сначала найдите угол напротив: он вертикальный и равен данному. Два оставшихся угла соседствуют с известным, поэтому каждый равен 180° минус его мера. Такая проверка сразу даёт все четыре угла. Их расположение чередуется: вертикальные равны, а соседние в сумме дают 180°.

Смежные и вертикальные углы: определение и свойства

Сначала сравните расположение углов и их стороны, чтобы определить, к какому виду относится пара. Затем выберите нужное свойство из соответствующего столбца. Для смежных применяйте сумму 180°, а для вертикальных — равенство.

Разбор задач

Задача 1. Один из двух смежных углов равен 68°. Найдите второй угол. Слово «смежных» сразу сообщает, что сумма этих углов равна 180°. Значит, нужно узнать, какая часть развёрнутого угла осталась после угла в 68°.

1. Запишем сумму: 180°.
2. Вычтем известную меру: 180° − 68° = 112°.
3. Проверим: 68° + 112° = 180°, условие выполняется.

Ответ: 112°.

Задача 2. При пересечении двух прямых один из углов равен 127°. Найдите градусные меры трёх остальных углов. Сначала определим угол напротив данного: это вертикальная пара, поэтому меры равны. Два других угла смежны с данным, и для каждого используем сумму 180°.

1. Вертикальный данному угол равен 127°.
2. Вычислим смежный угол: 180° − 127° = 53°.
3. Второй угол, смежный с данным, тоже равен 53°, так как его сумма с углом 127° также равна 180°.
4. Проверим: 127° + 53° = 180°, а два угла по 127° расположены напротив друг друга.

Ответ: 127°, 53° и 53°.

Задача 3. Два угла имеют общую вершину и общую сторону, а их градусные меры равны 3x + 15° и 5x − 11°. Другие стороны — противоположные лучи. Найдите x и углы. Последнее условие подтверждает, что углы смежные, поэтому составим уравнение на сумму их мер. После решения проверим, что полученные углы положительны и вместе дают 180°.

1. Составим уравнение: (3x + 15) + (5x − 11) = 180.
2. Соберём подобные слагаемые: 8x + 4 = 180, откуда 8x = 176 и x = 22.
3. Найдём первый угол: 3 · 22 + 15 = 81°.
4. Найдём второй угол: 5 · 22 − 11 = 99°.
5. Проверим сумму: 81° + 99° = 180°. Обе меры положительны и согласуются с условием о смежных углах.

Ответ: x = 22; углы равны 81° и 99°.

Типичные ошибки

• Считать смежными любые углы с общей вершиной и стороной — значит не проверить, образуют ли две другие стороны прямую. Так ошибаются, потому что смотрят только на сходство расположения. Проверьте, что нес общие стороны являются противоположными лучами.

• Приравнивать смежные углы неверно: равными являются вертикальные, а смежные в сумме дают 180°. Путаница возникает из-за того, что оба вида пар встречаются при пересечении прямых. Перед вычислением установите, стоят углы рядом или напротив.

• Считать углы вертикальными только потому, что на рисунке они выглядят противоположными, недостаточно. Их стороны должны продолжать стороны друг друга, то есть лежать на двух пересекающихся прямых. Проверьте это по направлениям сторон, а не только по внешнему виду схемы.

• Если принять соседние углы за вертикальные, можно ошибочно приравнять их меры. Это происходит, когда пары определяют на глаз, не прослеживая стороны. Сначала отметьте общую сторону у соседних углов, затем найдите пары напротив и применяйте к ним разные свойства.

Связь с другими темами

Для работы с углами понадобятся понятия вершины и сторон угла, луча и прямой, а также умение читать градусную меру. Нужно понимать, что два противоположных луча лежат на одной прямой и имеют общее начало. Эти знания помогают точно распознать смежные углы.

Свойства смежных и вертикальных углов пригодятся в задачах на пересечение прямых и при доказательстве равенства углов. Позже они помогут рассуждать о параллельных прямых: сначала нужно верно определить пары углов, возникающих при пересечении линий. Поэтому важно опираться на положение сторон, а не только на чертёж.

Что запомнить

• Смежные углы имеют общую вершину и общую сторону.
• Другие стороны смежных углов — противоположные лучи.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.
• Стороны одного вертикального угла являются продолжениями сторон другого.
• Вертикальные углы равны.
• При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.