"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, то есть образуют углы по 90°. Это понятие помогает точно описывать взаимное положение прямых, находить углы и строить геометрические фигуры. Чтобы установить перпендикулярность, достаточно доказать, что один угол при пересечении прямых прямой: тогда смежные и вертикальные углы тоже будут равны 90°. Через точку на прямой можно провести ровно один перпендикуляр к ней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямой угол — это угол, равный 90°. Его обозначают специальным маленьким квадратиком у вершины, а четверть полного угла составляет именно прямой угол, поскольку полный угол равен 360°. Это помогает сразу узнавать углы, необходимые для определения перпендикулярности.
Перпендикулярные прямые — пересекающиеся прямые, образующие прямые углы. Запись a ⟂ b читают: «прямая a перпендикулярна прямой b». Такое обозначение кратко показывает взаимное положение прямых и используется в чертежах и решениях.
Перпендикуляр к прямой — прямая, проходящая через заданную точку и перпендикулярная данной прямой. Иными словами, она должна пройти именно через указанное место и образовать с данной прямой угол 90°. Это понятие используют, когда требуется провести или найти такую прямую.
Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с данной прямой. Оно показывает, в каком месте перпендикуляр встречает прямую. По основанию удобно определять положение построенного перпендикуляра и выделять отрезок от заданной точки.
Пусть две прямые пересеклись, и один из углов оказался прямым. Соседний с ним угол вместе с ним образует развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°; соседний угол равен 180° − 90° = 90°. Угол напротив первого является вертикальным и равен ему, а оставшийся тоже равен 90° как вертикальный к соседнему. Значит, все четыре угла при пересечении прямых прямые.
Чтобы доказать, что прямые перпендикулярны, не требуется отдельно измерять все четыре угла. Достаточно обосновать, что один из них равен 90°: остальные будут прямыми по свойствам смежных и вертикальных углов. Например, это можно сделать по условию задачи или вычислить величину угла. Если результат равен 90°, определение перпендикулярных прямых выполнено.
Через точку, лежащую на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, причём такой перпендикуляр только один. Существование означает, что провести его возможно; единственность — что нельзя провести через ту же точку другую прямую с тем же свойством. Если бы через точку проходили два разных перпендикуляра, они образовали бы разные прямые углы с одной и той же прямой в одном месте, что невозможно.
При построении нужно следить не только за прямым углом, но и за тем, где проходит искомая прямая. Она обязана пройти через заданную точку, иначе построена не та линия, о которой говорится в условии. Затем проверяют, что угол между ней и данной прямой равен 90°; на чертеже прямой угол обычно отмечают квадратиком.
Перпендикулярные прямые пересекаются, поскольку имеют общую точку — место образования прямых углов. Параллельные прямые, напротив, не пересекаются, поэтому они не могут быть перпендикулярными. Даже если на чертеже две линии выглядят близкими к пересечению, их взаимное положение определяют по условию и свойствам, а не только на глаз.
| Что рассматриваем | Определение или условие | Что из этого следует |
|---|---|---|
| Прямой угол | Угол, равный 90° | Он составляет четверть полного угла |
| Перпендикулярные прямые | Пересекаются и образуют прямые углы | Записывают a ⟂ b |
| Углы при пересечении перпендикулярных прямых | Один из углов равен 90° | Все четыре угла равны 90° |
| Прямая через точку на данной прямой | Проходит через точку и перпендикулярна данной прямой | Такую прямую можно провести ровно одну |
Сначала найди строку, соответствующую условию задачи, а затем прочитай, какое следствие можно использовать. Таблица помогает не путать определение прямых с выводами о величинах углов. Если известен один прямой угол при пересечении, можно сразу заключить, что прямые перпендикулярны.
Две прямые пересекаются, и один из образованных углов равен 90°. Требуется определить, перпендикулярны ли прямые. Важно опираться на определение, а не на внешний вид чертежа. Один прямой угол уже подтверждает нужное условие.
Ответ: да, прямые перпендикулярны.
При пересечении двух прямых один угол равен 37°. Нужно найти остальные углы и проверить перпендикулярность. Сначала определим смежный угол: вместе с данным он образует развёрнутый угол в 180°. Затем применим свойство вертикальных углов, чтобы найти последний угол.
Ответ: остальные углы равны 143°, 37° и 143°; прямые не перпендикулярны.
Через точку, лежащую на прямой, требуется провести перпендикуляр к этой прямой. Нужно обосновать, сколько таких прямых существует. Не следует судить только по тому, сколько вариантов можно нарисовать на черновике. Здесь применяется утверждение о существовании и единственности перпендикуляра через точку прямой.
Ответ: можно провести ровно один перпендикуляр.
Ошибка: считать перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Пересечение говорит только о наличии общей точки, но угол между прямыми может быть не 90°. Так ошибаются, когда ориентируются лишь на рисунок. Проверь величину хотя бы одного угла и называй прямые перпендикулярными только при результате 90°.
Ошибка: путать перпендикулярные прямые и отрезок-перпендикуляр. Прямые продолжаются в обе стороны, а отрезок ограничен двумя концами. Путаница возникает потому, что на чертеже часто выделяют только часть прямой. Проверь, о каком объекте спрашивают: о всей прямой или об отрезке с концами.
Ошибка: считать, что достаточно проверить любой угол, не указав его величину. Сам факт проверки ничего не доказывает: угол может оказаться, например, 37°. Иногда слово «проверить» ошибочно принимают за доказательство перпендикулярности. Запиши, почему угол равен 90° — по условию, вычислению или известному свойству.
Ошибка: проводить через точку на прямой несколько перпендикуляров. Чертёж можно менять, но геометрическое утверждение говорит, что такой перпендикуляр единственный. Несколько линий могут лишь казаться перпендикулярными из-за неточности рисунка. Для проверки вспомни свойство единственности и требование прямого угла.
Для изучения перпендикулярности нужны понятия прямого угла и градусной меры, а также свойства смежных и вертикальных углов: они позволяют находить углы при пересечении прямых. Позже перпендикуляр понадобится, когда будут изучать расстояние от точки до прямой и строить геометрические фигуры. Обозначение ⟂ используют в доказательствах и задачах на углы и треугольники. Поэтому умение распознавать прямой угол помогает связывать чертёж с точными рассуждениями.
Как понять, что две прямые перпендикулярны?
Нужно проверить, пересекаются ли прямые и образуют ли они прямой угол. Если угол между ними равен 90°, прямые перпендикулярны; это записывают a ⟂ b.
Достаточно ли проверить один угол при пересечении прямых?
Да, если установлено, что выбранный угол равен 90°. Смежный с ним угол равен 180° − 90° = 90°, а вертикальный равен выбранному, поэтому все четыре угла прямые.
Чем перпендикуляр отличается от перпендикулярных прямых?
Перпендикулярные прямые — две прямые, пересекающиеся под прямым углом. Перпендикуляром к прямой называют прямую, проведённую через заданную точку перпендикулярно этой прямой; отрезок-перпендикуляр имеет концы.
Сколько перпендикуляров к прямой можно провести через точку на ней?
Ровно один. Через такую точку можно провести перпендикуляр к прямой, и второй отличающийся от него перпендикуляр провести нельзя.
Могут ли параллельные прямые быть перпендикулярными?
Нет. Перпендикулярные прямые должны пересекаться, а параллельные прямые не имеют общих точек.
4. Перпендикулярные прямые.
