"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Угол можно не только сравнить на глаз, но и измерить числом. Для этого полный оборот делят на 360 равных частей, а каждую часть называют градусом. Градусная мера показывает, сколько таких частей укладывается в угол; её записывают со знаком ° и находят транспортиром. Зная меры полного, развёрнутого и прямого углов, можно сравнивать углы и вычислять неизвестные части: мера целого угла равна сумме мер его частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Градусная мера угла — числовая величина, показывающая, сколько единичных углов укладывается в данном угле. Иначе говоря, она сообщает размер угла в выбранной единице. Благодаря числу углы можно сравнивать и выполнять вычисления, не полагаясь только на взгляд.
Градус — единица измерения углов; полный угол содержит 360 градусов, один градус обозначают 1°. Число перед знаком ° показывает, сколько градусов составляет угол: например, запись 38° означает тридцать восемь градусов. Эта единица позволяет одинаково измерять углы на разных чертежах.
Транспортир — инструмент для измерения и построения углов в градусах. На нём есть центр, нулевая отметка и шкала с делениями. При измерении он помогает перенести размер угла с чертежа в числовую запись, а при построении — отложить заданное число градусов.
Чтобы измерять углы, нужно договориться о постоянной единице, иначе записи разных людей нельзя было бы сравнивать. За основу берут полный оборот вокруг вершины и делят его на 360 равных частей. Каждая часть — один градус, поэтому полный угол равен 360°, а размер любого другого угла можно выразить числом таких частей.
Для измерения сначала положите транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла. Нулевую отметку расположите на одной стороне: это задаёт начало отсчёта. Затем найдите деление, через которое проходит вторая сторона, и прочитайте число градусов; если сторона короткая, её можно мысленно продолжить.
Сравнивать углы по градусной мере проще, чем прикладывать их друг к другу. Если один угол равен 42°, а другой — 67°, то второй больше, потому что в нём укладывается больше единичных углов. Это сравнение не зависит от длины сторон: важен только размах между ними.
Если внутри угла провести луч, он разделит угол на две части. Каждая часть занимает некоторое число градусов, а вместе они заполняют весь исходный угол, поэтому их меры складываются. Например, если части равны 25° и 40°, то мера целого угла равна 25° + 40° = 65°; это правило помогает находить неизвестную часть вычитанием.
Некоторые углы удобно узнавать по известной мере: полный равен 360°, развёрнутый — 180°, а прямой — 90°. Эти значения служат опорой для вычислений, потому что части такого угла должны в сумме дать его целую меру. Например, если развёрнутый угол разделили на части 38° и неизвестную, то неизвестная часть равна 180° − 38°.
Сначала можно определить вид угла по его мере, а затем проверить, соответствует ли число его виду. В таблице собраны основные случаи, которые помогают быстро оценить результат измерения. Границы для острого и тупого углов сравнивают с прямым и развёрнутым углами.
| Вид угла | Градусная мера | Как распознать |
|---|---|---|
| Нулевой | 0° | Стороны совпадают |
| Острый | Больше 0° и меньше 90° | Меньше прямого угла |
| Прямой | 90° | Равен четверти полного угла |
| Тупой | Больше 90° и меньше 180° | Больше прямого, но меньше развёрнутого |
| Развёрнутый | 180° | Стороны направлены в противоположные стороны |
| Полный | 360° | Сторона совершает полный оборот |
Задача 1. Измерить транспортиром угол на чертеже и записать его градусную меру. Чтобы получить верное число, нужно правильно совместить инструмент со сторонами угла и выбрать шкалу с подходящим нулём. Так порядок действий будет одинаковым независимо от того, в какую сторону раскрыт угол.
Ответ: градусная мера равна числу, считанному у второй стороны, например 65°, если сторона проходит через отметку 65°. На конкретном чертеже результат нужно определить по нанесённому углу. Запись обязательно включает знак °.
Задача 2. Угол состоит из двух смежных частей: одна равна 38°. Найти меру другой части. Смежные части вместе образуют развёрнутый угол, значит, их сумма составляет 180°. Неизвестная часть — это остаток после того, как из целого угла убрали известную часть.
Ответ: другая часть равна 142°. Проверка показывает, что обе части составляют развёрнутый угол. Если бы сумма не равнялась 180°, значит, в вычислении была бы ошибка.
Задача 3. Луч разделил угол в 124° на две части. Одна часть на 18° больше другой; нужно найти обе меры. Удобно обозначить меньшую часть буквой x, тогда большую можно записать как x + 18°. Сумма этих частей должна составить 124°.
Ответ: части равны 53° и 71°. Проверка подтверждает и их сумму, и разность. Значит, найденные значения удовлетворяют обоим условиям задачи.
Центр транспортира иногда ставят рядом с вершиной или на одну из сторон. Тогда шкала отсчитывает угол не от его настоящей вершины, и результат получается неверным. Перед считыванием проверьте, что отметка центра совпала именно с точкой, где стороны сходятся.
Можно прочитать число не с той шкалы: у транспортира часто две шкалы, и числа на них растут в противоположных направлениях. Ошибка возникает, если не проверить начало отсчёта. Найдите ноль, совпавший со стороной угла, и используйте шкалу, которая начинается именно от него.
Иногда записывают только число или принимают градусную меру за длину стороны. Число без знака ° не показывает, что измерен угол, а длина сторон вообще не определяет его величину. Пишите знак градуса и помните: короткий и длинный углы могут иметь одинаковый размах.
При сложении или вычитании мер можно не проверить, составляют ли выбранные части нужный угол. Тогда, например, к части угла ошибочно применяют меру развёрнутого угла. Сначала установите, какой именно угол образуют части, а после вычисления сложите их меры и сравните с мерой целого.
Чтобы разбираться в измерении, нужно знать, что такое угол, где находятся его вершина и стороны, а также уметь отличать прямой угол от развёрнутого. Эти понятия помогают правильно расположить транспортир и выбрать опорную меру для вычислений. Позже измерение пригодится при построении и сравнении геометрических фигур, а также при изучении треугольников и других многоугольников.
Почему полный угол равен 360°?
Полный угол соответствует одному полному обороту вокруг вершины. По принятому соглашению этот оборот делят на 360 равных частей, поэтому каждая часть равна одному градусу, а весь угол — 360°.
Как понять, с какой шкалы транспортира считывать результат?
Посмотрите, с какой стороны начинается отсчёт от нулевой отметки, совмещённой со стороной угла. Выбирайте ту шкалу, где у этой стороны стоит 0°, а затем считайте значение у второй стороны.
Можно ли измерить угол, если его стороны короткие?
Да. Совместите центр транспортира с вершиной, а нулевую отметку — с одной стороной. Если вторая сторона не доходит до шкалы, мысленно продолжите её линейкой: величина угла от длины сторон не меняется.
Как найти неизвестную часть угла, если известны мера целого угла и другой части?
Вычтите меру известной части из меры целого угла. Перед вычислением проверьте, что эти части действительно составляют весь угол.
Как проверить, правильно ли измерен угол транспортиром?
Проверьте, что центр транспортира стоит в вершине, а нулевая отметка совпадает со стороной угла. Убедитесь, что выбрана шкала с нулём у этой стороны, и сравните результат с видом угла: например, острый угол должен быть меньше 90°.
7. Измерение углов.
