"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Измерение отрезка позволяет выразить его длину числом и сравнить с другими отрезками. Для этого выбирают единицу измерения — например, сантиметр — и выясняют, сколько раз она укладывается на отрезке. Если целое число раз не получается, учитывают доли единицы. Длина зависит от выбранной единицы, но равные отрезки при одной единице имеют одинаковые длины. Знание этих правил помогает находить длины частей и всего отрезка, решать задачи о периметрах и работать с точками на луче.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Единицей может служить не только сантиметр, но и любой выбранный отрезок. Он нужен как образец, с которым сравнивают длину других отрезков.
Длина отрезка — число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его доли укладываются в данном отрезке. Например, если единица укладывается пять раз, длина равна пяти единицам. Это число помогает сравнивать отрезки и вычислять длины их частей.
Единица измерения длины — выбранная единица, например сантиметр или метр. Численное значение зависит от выбора единицы: одна и та же длина может быть равна 10 см или 100 мм. Поэтому число длины записывают вместе с единицей, чтобы результат можно было правильно понять и использовать.
Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. При одной и той же единице измерения равным отрезкам соответствуют равные численные длины, и наоборот. Это позволяет судить о равенстве отрезков по измерениям, даже если их концы обозначены разными буквами.
Измерять отрезок — значит сравнивать его с единичным отрезком. Единицу мысленно или с помощью линейки последовательно откладывают вдоль измеряемого отрезка, начиная от одного из его концов. Каждый полный раз показывает, сколько целых единиц в нём помещается. Такой способ связывает геометрическую длину с числом, которое можно использовать в вычислениях.
Иногда единица не укладывается на отрезке целое число раз. Тогда оставшуюся часть сравнивают с долями единицы: например, проверяют, составляют ли они половину или десятую часть. Поэтому длина может быть дробным числом, а не только целым. Точность результата зависит от того, насколько мелкие доли единицы используют при измерении.
Равные отрезки при одной единице измерения получают одинаковые численные длины, потому что при измерении в каждом помещается одно и то же количество единиц и их долей. Если численные длины совпали, отрезки равны по определению. Сравнивать числа можно только при одинаковых единицах: прежде чем сопоставить, например, сантиметры и миллиметры, нужно выразить длины в одной единице.
Если точка C лежит между A и B, отрезок AB состоит из двух частей — AC и CB, которые вместе образуют целое. Поэтому длина всего отрезка равна сумме длин частей: AB = AC + CB. Это правило работает именно потому, что части идут подряд и не перекрывают друг друга. Оно позволяет найти целое по известным частям или одну часть, если известны целое и другая часть.
На луче можно отложить от его начала отрезок с любой заданной длиной. Если длина известна, она определяет, насколько далеко от начала нужно поставить второй конец отрезка. На одном луче в этом месте находится только одна точка, поэтому отрезок заданной длины единственный. Это правило помогает точно отмечать точки и устанавливать порядок точек на луче.
| Ситуация | Соотношение | Что это означает |
|---|---|---|
| Равные отрезки | AB = CD по длине | Их численные длины равны при одной единице измерения. |
| Точка C лежит между A и B | AB = AC + CB | Длина целого равна сумме длин его частей. |
| Задана длина на луче | От начала луча откладывают заданную длину | На этом луче такой отрезок можно построить ровно одним способом. |
Сначала определите, какая ситуация описана в задаче, и найдите подходящую строку таблицы. Затем проверьте условие: для сложения частей точка должна лежать между концами всего отрезка. Все длины, участвующие в вычислении, должны быть выражены в одинаковых единицах.
Единичный отрезок равен 1 см. Сколько сантиметров составляет отрезок, в котором он укладывается 6 раз? Нужно понять, какое число показывает количество укладываний. Доли единицы здесь не нужны, потому что отрезок содержит ровно шесть целых единиц.
Ответ: 6 см.
Точка C лежит между A и B. Известно, что AC = 3,7 см и CB = 2,5 см. Найдите AB. Так как C находится между концами всего отрезка, части AC и CB идут подряд и вместе составляют AB. Значит, подходит правило сложения длин частей.
Ответ: AB = 6,2 см.
На луче с началом O отмечены точки A и B, причём OA = 4 см, OB = 9 см. Найдите AB и объясните, почему A лежит между O и B. Обе точки находятся на одном луче, поэтому большая длина от его начала соответствует более удалённой точке. Сравним расстояния OA и OB, прежде чем вычислять длину между A и B.
Ответ: A лежит между O и B, AB = 5 см.
Записывают длину только числом, например 5, не указывая сантиметры или другую единицу. Так делают, забывая, что численное значение меняется вместе с единицей измерения. Проверьте запись: после числа должна стоять единица, а сравниваемые длины должны быть приведены к одной единице.
Складывают длины любых двух отрезков, не проверив их расположение. Ошибка возникает, когда правило AB = AC + CB запоминают без условия о точке C. Перед сложением убедитесь, что отрезки составляют части одного целого и общая точка лежит между его концами.
Считают, что отрезки равны, потому что их обозначения похожи, или неравны, потому что названия точек разные. Буквы лишь обозначают концы и сами по себе не сообщают длину отрезка. Проверяйте равенство по длинам: при одной единице измерения они должны быть одинаковыми.
Полагают, что длина обязательно выражается целым числом. Это происходит, если учитывать только полные укладывания единичного отрезка. Проверьте остаток: он может составлять долю единицы, и тогда длину нужно записать дробным числом, например 2,5 см.
Для работы с длинами нужно знать, что такое точка, прямая, луч и отрезок, а также уметь сравнивать отрезки. Эти понятия помогают правильно прочитать условие и определить, какие части образуют целое. Измерение отрезков используется при нахождении периметра — суммы длин сторон фигуры. Оно также помогает решать задачи на координатную прямую: по расстояниям можно сравнивать положение точек и находить расстояние между ними.
Что называют единичным отрезком?
Это отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Можно выбрать отрезок любой длины, но при измерениях нужно пользоваться одной и той же выбранной единицей.
Почему длина одного и того же отрезка может иметь разные численные значения?
Потому что численное значение зависит от единицы измерения. Например, длина, равная 10 см, равна 100 мм: сам отрезок не изменился, изменилась единица.
Как найти длину отрезка, если известны длины его частей?
Если точка делит отрезок на части и лежит между его концами, сложите длины частей. Например, если AC = 3 см и CB = 2 см, то AB = 3 + 2 = 5 см.
Когда можно складывать длины двух отрезков?
Когда эти отрезки составляют части одного отрезка, а их общая точка лежит между его концами. Если отрезки расположены иначе, их длины нельзя складывать как длины частей одного целого.
Можно ли отложить на луче от его начала отрезок заданной длины?
Да. От начала луча можно отложить отрезок любой заданной длины. На данном луче такой отрезок будет единственным.
6. Измерение отрезков.
