3. Измерение отрезков и углов.

Определения и обозначения

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Например, за единицу можно выбрать сантиметр или метр. Такой выбор задаёт масштаб: чем меньше единица, тем большее число единиц помещается в том же отрезке.

Длина отрезка — число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его доли укладываются в данном отрезке. Длину записывают вместе с единицей: 6 см, 2 м. Это число нужно, чтобы сравнивать расстояния и выполнять вычисления.

Градусная мера угла — число, показывающее, сколько градусов содержится в угле. Полный угол принимают за 360°, то есть градус показывает часть полного оборота. Меру угла записывают числом со знаком °, например 45°.

Смежные углы — два угла с общей стороной, другие стороны которых являются противоположными лучами. Вместе они образуют развёрнутый угол, поэтому их градусные меры в сумме дают 180°. Это свойство помогает находить неизвестный угол по известному.

Как это устроено

Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единичный отрезок, например сантиметр. Затем сравнивают с ним данный отрезок: смотрят, сколько целых единиц и их долей укладывается от одного конца до другого. Полученное число и есть длина, поэтому при выборе миллиметра вместо сантиметра числовое значение изменится, хотя сам отрезок останется прежним.

Длина отрезка положительна, потому что у отрезка есть два различных конца и между ними есть ненулевое расстояние. Если точка C лежит между A и B, отрезок AB состоит из двух неперекрывающихся частей AC и CB. Поэтому при сложении их длин получается весь отрезок: AB = AC + CB.

Для измерения угла транспортир прикладывают так, чтобы его центр совпал с вершиной угла, а нулевая отметка одной шкалы — с одной из сторон. Затем находят деление, через которое проходит вторая сторона, и считывают число по шкале, начинающейся с совмещённого нуля. Две шкалы нужны потому, что сторону угла можно направить влево или вправо; правильная шкала всегда даёт 0° на первой стороне.

Градусная мера угла положительна: угол имеет величину поворота от одной стороны к другой, а направление сторон задаёт ненулевую часть полного оборота. Если луч проходит внутри угла, он разделяет его на два меньших угла без наложения. Поэтому мера всего угла равна сумме мер частей: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.

Прямой угол равен 90°, потому что это четверть полного угла, а развёрнутый угол равен 180°, то есть половине полного. Полный угол равен 360°. У смежных углов общая сторона разделяет развёрнутый угол на две части, поэтому сумма их мер равна 180°.

Сравнение измерения отрезков и углов

Таблица помогает быстро выбрать единицу и инструмент для измерения. В последнем столбце указано свойство, которое обычно становится первым шагом в задаче. Перед вычислениями проверьте взаимное расположение точек или лучей.

Разбор задач

Задача 1

Точка C лежит между точками A и B. Известно, что AC = 4 см, CB = 7 см. Найдём длину AB.

1. Точка C находится внутри отрезка AB, поэтому части AC и CB составляют весь отрезок.
2. Применяем свойство сложения: AB = AC + CB.
3. Подставляем значения: AB = 4 см + 7 см = 11 см.

Ответ: AB = 11 см.

Задача 2

Луч OC проходит внутри угла AOB. Угол AOB равен 124°, а угол AOC — 57°. Требуется найти угол COB.

1. Внутренний луч делит весь угол на две части, поэтому ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.
2. Выражаем неизвестную часть: ∠COB = ∠AOB − ∠AOC.
3. Вычисляем: ∠COB = 124° − 57° = 67°.

Ответ: ∠COB = 67°.

Задача 3

Углы AOC и COB смежные. Угол AOC в 2 раза больше угла COB. Обозначим меньший угол через x.

1. Тогда ∠COB = x, а ∠AOC = 2x.
2. Смежные углы в сумме дают 180°, значит x + 2x = 180°.
3. Получаем 3x = 180°, откуда x = 60°. Следовательно, ∠COB = 60°, а ∠AOC = 120°.
4. Проверяем: 60° + 120° = 180°, условие выполнено.

Ответ: ∠COB = 60°, ∠AOC = 120°.

Типичные ошибки

Считать длину отрезка неизменной числовой величиной без указания единицы — ошибка. Одно и то же расстояние выражается разными числами в сантиметрах и миллиметрах. Проверьте себя: рядом с числом должна стоять единица, а при смене единицы число должно измениться.

Нельзя складывать AC и CB по формуле AB = AC + CB, если не проверено положение точки C. Равенство работает именно тогда, когда C лежит между A и B. Сделайте проверку по чертежу или условию: части должны последовательно составлять весь отрезок.

При работе с транспортиром иногда берут отсчёт от неверного нуля или читают внешнюю шкалу. Это происходит потому, что на инструменте нанесены две шкалы с противоположными направлениями. Убедитесь, что выбранная шкала начинается с 0° на стороне угла и заканчивается у второй стороны.

Смежные углы нельзя приравнивать и нельзя считать их сумму равной 360°. Они составляют развёрнутый, а не полный угол, поэтому их сумма равна 180°. Для проверки найдите общую сторону и убедитесь, что другие стороны являются противоположными лучами.

Связь с другими темами

До начала темы нужно различать точку, прямую, луч, отрезок и угол. Также важно уметь определять, лежит ли одна точка между двумя другими, потому что от этого зависит применение формулы сложения длин.

Измерение отрезков используется при вычислении периметров и расстояний. Измерение углов понадобится при изучении видов треугольников и решении задач, где известны суммы или разности углов.

Навыки работы с линейкой и транспортиром нужны для построения геометрических фигур. С их помощью можно проверять точность чертежа и сопоставлять построенную фигуру с условием задачи.

Что запомнить

• Длина отрезка выражается числом в выбранных единицах измерения.
• Если C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
• Градусная мера угла выражается в градусах.
• Прямой угол равен 90°, развёрнутый — 180°, полный — 360°.
• Мера угла равна сумме мер частей, на которые его делит луч внутри угла.
• Сумма градусных мер смежных углов равна 180°.