5. Сравнение отрезков и углов.

Определения и обозначения

Сравнение отрезков — это установление того, равны ли два отрезка или один из них длиннее другого. Для сравнения отрезки накладывают: их начала совмещают и располагают на одной прямой. Так можно определить порядок отрезков, даже если их длины пока не измеряют числом. Например, сравнивая AB и CD, смотрят, где окажутся точки B и D после совмещения начал.

Отрезки называют равными, если при наложении они совпадают. Это значит, что совпадают не только их начала, но и концы, а отрезки занимают одно и то же место. Равенство удобно обозначать так: AB = CD. Оно позволяет заменить один отрезок другим в рассуждении, не меняя его длину.

Если после совмещения начал конец одного отрезка лежит дальше конца другого, первый отрезок больше второго, а второй меньше первого. Например, если конец B расположен между общим началом и точкой D, то AB < CD, а CD > AB. Такое сравнение показывает порядок длин и помогает выбрать нужную фигуру в задаче.

Сравнение углов — это установление равенства углов или того, какой из них больше. Углы накладывают так, чтобы совпали их вершины и по одной стороне; затем смотрят, где расположились другие стороны. Если стороны тоже совпали, углы равны. Если одна сторона оказалась внутри другого угла, то этот угол меньше, потому что его раскрытие уже.

Как это устроено

Наложение позволяет сравнивать фигуры без измерения, потому что оно не растягивает и не сжимает их. При перемещении фигура сохраняет форму и размер, поэтому совпадение после наложения действительно показывает равенство. Если фигуры не совпали, их части всё равно можно расположить так, чтобы увидеть, какая выходит дальше или раскрывается шире. Это надёжнее, чем оценивать размер только на глаз.

У отрезков сначала совмещают начала и направляют их вдоль одной прямой. Иначе концы окажутся в разных местах не только из-за длины, но и из-за разного положения отрезков. Когда начала общие, сравнение сводится к положению концов: совпали — отрезки равны, один конец дальше — соответствующий отрезок больше. Так способ наложения превращает сравнение длин в простой и наглядный порядок точек.

Углы сравнивают, совмещая вершины и одну сторону. Общая сторона становится началом отсчёта раскрытия, поэтому положение второй стороны можно сопоставить напрямую. Если вторые стороны совпали, совпало и раскрытие углов; если одна сторона лежит внутри другого угла, этот угол меньше. Накладывать стороны нужно в подходящем направлении, чтобы сравнивать именно раскрытие между ними.

Величина угла определяется не длинами его сторон, а тем, насколько широко они расходятся от вершины. Стороны можно продолжить или изобразить длиннее, и сам угол от этого не станет больше. Поэтому длинные стороны на чертеже не означают, что угол больше. При сравнении важна только ширина раскрытия после совмещения вершины и одной стороны.

Сравнение даёт три возможных результата: фигуры равны, первая больше второй или первая меньше второй. У отрезков это определяется положением концов, у углов — положением сторон после наложения. Эти варианты охватывают все случаи сравнения двух фигур одного вида. Если результат не виден на рисунке, наложение помогает проверить его без догадок.

Сравнение отрезков и углов наложением

В таблице сначала найдите нужный вид фигуры, а затем выполните указанное совмещение. Равенство устанавливают по полному совпадению, а порядок — по положению концов или сторон. Не сравнивайте фигуры только по тому, как они выглядят на чертеже.

Разбор задач

Даны отрезки AB и CD. При наложении их начала совмещены, а точка B оказалась между началом и точкой D. Сравните отрезки. Чтобы ответить, достаточно проследить положение концов на общей прямой. Здесь начало AB и CD — одна и та же точка после наложения.

1. Представим общий конец начала отрезков как точку O, а точки B и D расположим на одной прямой.
2. По условию B находится между O и D, следовательно, точка D лежит дальше от общего начала.
3. Значит, длина CD больше длины AB. Положение конца показывает порядок отрезков без вычисления их длин.

Ответ: AB < CD. Если бы точки B и D совпали, отрезки были бы равны; если бы дальше лежала B, то больше был бы AB. Так проверяют все возможные положения концов.

Даны два угла. При наложении совпали их вершины и по одной стороне, а другая сторона одного угла расположилась внутри другого. Сравните углы. Совпавшая сторона задаёт общее направление, поэтому можно сравнить раскрытие. Назовём меньшим тот угол, чья другая сторона оказалась внутри.

1. Совместим вершины углов и по одной стороне, как указано в условии.
2. Посмотрим на оставшиеся стороны: сторона одного угла лежит внутри области другого угла.
3. Угол с внутренней стороной имеет меньшее раскрытие, поэтому он меньше второго угла.

Ответ: угол, чья сторона оказалась внутри, меньше. Длины сторон здесь не сравнивают: они могли бы быть разными, но величина угла определяется раскрытием.

Отрезок AB равен CD, а CD меньше EF. Установите соотношение между AB и EF и объясните ответ. Это задача на сочетание равенства и неравенства. Если один отрезок равен второму, он занимает его место в сравнении длин.

1. Из равенства AB = CD следует, что AB и CD имеют одинаковую длину.
2. По условию CD < EF, то есть EF длиннее CD.
3. Заменим CD равным ему AB: поскольку AB имеет ту же длину, что и CD, он также короче EF.

Ответ: AB < EF. Здесь используется транзитивность сравнения: если величина равна одной, а та меньше другой, то первая тоже меньше другой. Точно так же рассуждают о длинах отрезков, не измеряя их заново.

Типичные ошибки

Ошибка — считать большим тот отрезок, который на рисунке выглядит длиннее. Так поступают, потому что чертёж обычно воспринимают как точное изображение, хотя его могли выполнить не в масштабе. Чтобы проверить себя, наложите отрезки, совместите начала и сравните положение концов. Вид рисунка не заменяет такого сравнения.

Ошибка — сравнивать отрезки, не совместив их начала. При разных началах более удалённый конец может объясняться положением всего отрезка, а не его длиной. Совместите начала и расположите отрезки на одной прямой. После этого проверьте, какой конец лежит дальше от общего начала.

Ошибка — считать, что угол с более длинными сторонами больше. Длины сторон могут меняться, а раскрытие между ними оставаться прежним, поэтому такое сравнение ненадёжно. Совместите вершины и по одной стороне, а затем сравните другие стороны. Если раскрытие не изменилось, изменение длины сторон не влияет на вывод.

Ошибка — совместить вершины углов, но не совместить одну сторону. Тогда непонятно, от какого общего направления сравнивать раскрытие, и расположение других сторон может ввести в заблуждение. Для проверки ещё раз наложите углы, совместив вершины и одну сторону. Только после этого определяйте, какая другая сторона оказалась внутри.

Связь с другими темами

Перед сравнением нужно знать, что такое отрезок, его концы, угол, вершина и стороны угла. Эти понятия помогают правильно выбрать точки и стороны, которые нужно совместить. Дальше сравнение пригодится при изучении измерения отрезков и углов: измерение выражает величину числом, а наложение помогает увидеть соотношение. Оно также используется в задачах на равенство геометрических фигур, где важно установить, совпадают ли фигуры по форме и размеру.

Что запомнить

• Отрезки и углы сравнивают наложением.
• Совпавшие при наложении фигуры равны.
• Для сравнения отрезков совмещают их начала.
• Более длинный отрезок выступает за конец более короткого.
• Для сравнения углов совмещают вершины и одну сторону.
• Угол с меньшим раскрытием меньше независимо от длины его сторон.