4. Равенство геометрических фигур

Определения и обозначения

Равные геометрические фигуры — это фигуры, которые можно совместить наложением так, чтобы они полностью совпали. Иначе говоря, после совмещения не должно оставаться ни выступающих, ни незакрытых частей. Определение нужно, чтобы сравнивать фигуры не только по рисунку, но и по их форме и размерам.

Наложение фигур — мысленное перемещение одной фигуры без изменения её формы и размеров. Её можно сдвинуть, повернуть или перевернуть, но нельзя растянуть, сжать или согнуть. Это позволяет проверить равенство, даже если фигуры расположены на чертеже по-разному.

Соответствующие точки — точки разных фигур, которые совпадают друг с другом при наложении. Например, совпавшие вершины двух многоугольников являются соответствующими вершинами. Понятие помогает правильно сопоставлять части фигур и не сравнивать случайные точки или стороны.

Равные отрезки и углы — отрезки или углы, которые при наложении можно совместить полностью. У равных отрезков одинаковая длина, у равных углов — одинаковая величина. Это определение связывает наглядную проверку наложением с числовым сравнением длин и величин.

Как это устроено

Равенство фигур не определяют по тому, как они расположены на чертеже. Одна и та же фигура может быть нарисована в разных местах, повернута или перевёрнута, но от этого её форма и размеры не меняются. Поэтому перед сравнением можно мысленно передвинуть фигуры и подобрать такое положение, в котором их легче проверить.

Наложение служит способом проверки, потому что оно сохраняет каждую точку фигуры и расстояния между её частями. Если после перемещения совпала только одна сторона или вершина, этого недостаточно: остальные части ещё могут не совпасть. Равенство подтверждается лишь тогда, когда совпадают все точки обеих фигур, то есть ни одна часть не выступает за границу другой.

При наложении равных фигур совпадают соответствующие элементы. У отрезков совпадают концы, поэтому совпадают и сами отрезки, а их длины одинаковы. У углов совпадают вершины и соответствующие стороны; значит, угол между сторонами у обеих фигур имеет одну и ту же величину.

Чтобы сравнить фигуры, сначала нужно определить, какие точки и части должны совпасть. Вершина одной фигуры может соответствовать не той вершине другой, которая ближе всего к ней нарисована: решает именно наложение. Когда пары соответствующих точек установлены правильно, можно проверять совпадение сторон и остальных частей, не путая их между собой.

Равенство сохраняет форму и размеры, но не требует одинакового расположения фигур на плоскости. Это следует из самого способа проверки: перемещение меняет место и направление фигуры, но не изменяет её частей. Поэтому рисунки могут выглядеть по-разному, хотя наложение покажет полное совпадение.

Как понимать равенство геометрических объектов

В таблице собраны признаки, по которым сравнивают фигуры, отрезки и углы. При проверке сначала определите соответствующие точки, а затем убедитесь, что совпадают нужные части. Одинаковые длины или величины помогают сравнить отдельные объекты, но для равенства целых фигур нужно совпадение всех их точек.

Разбор задач

Задача 1. Два отрезка имеют длину 5 см. Равны ли они? Длины уже сообщают, что оба отрезка одинаковы по размеру, но проверим, как это связано с определением равенства. Направление и место отрезков на чертеже не должны влиять на ответ.

1. Представим, что один отрезок можно перемещать, не меняя его длину.
2. Совместим один конец с концом другого отрезка и направим их вдоль одной прямой.
3. Так как длина каждого отрезка равна 5 см, вторые концы тоже совпадут.

Ответ: отрезки равны, потому что их можно совместить наложением.

Задача 2. Два угла имеют величину 40°. Объясните, почему они равны, даже если на чертеже выглядят по-разному. Разное направление сторон может создать впечатление, что углы отличаются, поэтому нужно отделить положение от величины. Сравним углы именно наложением.

1. Мысленно переместим первый угол так, чтобы его вершина совпала с вершиной второго.
2. Повернём первый угол, совместив одну его сторону с соответствующей стороной второго.
3. Оба угла имеют величину 40°, поэтому вторые стороны тоже совпадут и углы совместятся полностью.

Ответ: углы равны; поворот меняет их положение, но не величину.

Задача 3. На чертеже две фигуры, одна повёрнута и перевёрнута относительно другой. Нужно определить, равны ли они, и указать соответствующие вершины. По одному только виду рисунка ответ не получить: поворот и переворот допустимы, а совпасть должны все части. Поэтому сначала мысленно подберём положение фигур, а затем запишем пары вершин.

1. Выберем вершину первой фигуры и найдём вершину второй, которая должна совпасть с ней при наложении.
2. Мысленно повернём и перевернём одну фигуру, не растягивая и не деформируя её, и совместим выбранные вершины.
3. Проверим, совпали ли остальные вершины, стороны и все границы фигур. Если хотя бы часть не совпадает, фигуры не равны.
4. Запишем соответствующими только те вершины, которые оказались друг над другом при полном совмещении.

Ответ: фигуры равны, если после допустимого перемещения совпадают полностью; соответствующие вершины — совпавшие при этом вершины. Без конкретного изображения назвать их буквами нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка: считать фигуры неравными из-за разного положения на чертеже. Так рассуждают, когда принимают поворот или переворот за изменение формы. Проверьте себя: можно ли переместить одну фигуру без растягивания и совместить её со второй?

Ошибка: сравнивать только внешний вид или отдельные части. Совпавшая сторона ещё не доказывает, что совпала вся фигура; похожий контур тоже может обмануть. Проверьте совпадение всех точек и частей при наложении.

Ошибка: считать равенство площадей достаточным условием равенства фигур. Это допускают, потому что площадь показывает, сколько места занимает фигура, но не описывает её форму. Для проверки задайте себе вопрос: можно ли совместить фигуры целиком, а не только получить одинаковую площадь?

Ошибка: неверно сопоставлять вершины или стороны. Если сравнить элементы, которые не совпадают при наложении, вывод о фигурах может оказаться неверным. Проследите, какие именно точки и части оказываются друг над другом после совмещения; соответствия определяют по этому совпадению.

Связь с другими темами

Для работы с равенством фигур нужно знать, что такое точка, отрезок и угол, а также уметь измерять длины отрезков и величины углов. Эти понятия помогают распознавать части фигуры и проверять, совпадают ли соответствующие элементы. Позже равенство фигур пригодится при изучении равенства треугольников: там также устанавливают соответствие вершин и сторон. Оно помогает обосновывать геометрические утверждения, а не полагаться только на внешний вид чертежа.

Что запомнить

• Равные фигуры можно совместить наложением.
• При наложении равных фигур совпадают все их точки.
• Положение фигуры на плоскости не влияет на её равенство другой фигуре.
• У равных фигур соответствующие элементы совпадают.
• Равные отрезки имеют одинаковую длину.
• Равные углы имеют одинаковую величину.