5. Равенство геометрических фигур

Определения и обозначения

Равными называют фигуры, которые можно совместить наложением так, чтобы они совпали целиком. Иными словами, после наложения каждой точке одной фигуры найдётся совпадающая с ней точка другой. Это определение нужно, чтобы сравнивать не только отдельные части, но и фигуры полностью.

Совмещение фигур — это наложение, которое выполняют перемещением одной фигуры без изменения её формы и размеров. Её можно переносить, поворачивать или переворачивать, но нельзя растягивать, сжимать или сгибать так, чтобы менялась форма. Такое пояснение помогает отличить допустимое перемещение от деформации.

Соответственными называют точки и элементы, которые совпадают друг с другом при совмещении фигур. Например, вершина одного многоугольника может соответствовать вершине другого, а сторона между двумя вершинами — стороне между соответствующими вершинами. Это понятие нужно, чтобы правильно сравнивать стороны и углы и не перепутать, какие элементы следует сопоставлять.

Как это устроено

Равенство определяют через совмещение, потому что само по себе расположение фигуры на листе не меняет её форму и размеры. Перенос или поворот лишь меняет положение, поэтому при удачном наложении одинаковые фигуры должны совпасть. Если же для совпадения приходится растягивать фигуру или менять её форму, равенство не установлено.

Чтобы проверить две фигуры, сначала выбирают, какие точки должны совпасть, а затем мысленно или на практике перемещают одну фигуру. Бумажные фигуры можно аккуратно наложить друг на друга, а фигуры на чертеже — представить после переноса или поворота. Проверка должна охватывать весь контур: совпадения только одного участка недостаточно.

У равных многоугольников совпадают соответствующие стороны и углы, потому что при совмещении совпадают вершины, между которыми расположены стороны. Например, если вершины A и B наложились на вершины K и L, то сторона AB совпала со стороной KL. Угол при вершине A также совпадает с углом при K, если соседние вершины сопоставлены правильно.

Соответствие вершин устанавливают, двигаясь по контуру многоугольника в одном направлении. Например, запись ABCD соответствует KLMN означает A↔K, B↔L, C↔M и D↔N; значит, сторонам AB, BC, CD, DA отвечают KL, LM, MN, NK. Порядок важен: если переставить буквы, можно сопоставить вершины, которые при совмещении не совпадают, и сделать неверный вывод о сторонах или углах.

Для простых фигур достаточно проверить, можно ли получить совпадение переносом, поворотом или переворотом. Круг можно повернуть вокруг центра, а треугольник — перенести и развернуть другой стороной вверх, если этого требует наложение. В каждом случае сохраняют размеры фигуры: разрешено изменить её положение, но не очертания.

Что совпадает при совмещении равных фигур

Пользуйся таблицей после того, как определил, какие точки одной фигуры соответствуют точкам другой. Для многоугольника сначала запиши пары вершин по порядку, затем сопоставь стороны и углы. Таблица перечисляет, что должно совпасть при наложении, но сама по себе не заменяет проверку равенства целых фигур.

Разбор задач

Бумажные фигуры

Условие. Две фигуры вырезаны из бумаги. Объясните, как проверить, равны ли они. Нужно выяснить, можно ли наложить их друг на друга, не меняя форму и размеры.

1. Возьмём одну фигуру и положим её поверх другой.
2. Если контуры не совпали, попробуем перенести или повернуть верхнюю фигуру; при необходимости её можно перевернуть.
3. Проверим весь контур и внутренние части: они должны совпасть без растягивания, разрезания и сгибания.

Ответ. Фигуры равны, если после допустимого перемещения они совпадают целиком. Если для совпадения приходится менять форму или размеры, по определению фигуры не равны.

Соответствие четырёхугольников

Условие. Четырёхугольники ABCD и KLMN можно совместить, причём A соответствует K, B — L, C — M, D — N. Назовите совпадающие стороны и углы. Здесь важно не просто перечислить элементы, а сохранить заданную связь вершин.

1. Запишем вершины в указанном порядке: A↔K, B↔L, C↔M, D↔N.
2. Сопоставим соседние пары вершин: AB↔KL, BC↔LM, CD↔MN, DA↔NK.
3. Углы при соответствующих вершинах также совпадают: ∠A↔∠K, ∠B↔∠L, ∠C↔∠M, ∠D↔∠N.

Ответ. Совпадают стороны AB и KL, BC и LM, CD и MN, DA и NK; также совпадают углы A и K, B и L, C и M, D и N. Соседство вершин сохраняется, потому что при наложении совпадают сами вершины и соединяющие их стороны.

Равенство соответствующих сторон и углов

Условие. У двух многоугольников равны все соответствующие стороны и углы. Можно ли только по этим сведениям заключить, что многоугольники равны? Нужно отличить проверенные свойства элементов от определения равенства фигур.

1. Установим, что именно дано: отдельные равенства сторон и углов при заранее выбранном соответствии.
2. Сравним это с определением: равенство фигур означает, что целые фигуры можно совместить без деформации.
3. Не будем считать совмещение доказанным, пока не проверим, что совпадают все соответствующие точки и весь контур.

Ответ. Одного перечисления равных сторон и углов недостаточно, чтобы применить определение равенства. Нужно отдельно обосновать возможность совмещения целых фигур; вывод нельзя подменять непроверенным обратным утверждением.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать равными фигуры, которые лишь похожи или имеют одинаковую форму. Так рассуждают, потому что не учитывают размеры: например, большой и маленький круг похожи, но наложением без изменения размеров не совпадут. Проверь себя: можно ли совместить фигуры, не растягивая и не сжимая ни одну из них?

• Ошибка — сравнивать стороны или углы без учёта их соответствия. Обычно так бывает, если элементы выписывают отдельно, не проследив порядок вершин. Проверь себя: соедини каждую пару соответствующих вершин и убедись, что сопоставляешь именно те стороны и углы, которые накладываются друг на друга.

• Ошибка — объявлять фигуры неравными, потому что в исходном положении они не совпадают. Начальное расположение может отличаться из-за поворота или переноса. Проверь себя: попробуй переместить фигуру, не изменяя её форму и размеры, и только потом делай вывод.

• Ошибка — считать равенство нескольких сторон или углов доказательством равенства фигур. Отдельные элементы могут совпасть, а целые очертания — не совместиться. Проверь себя: опирайся на определение и выясняй, можно ли наложить фигуры целиком; не делай вывод только по части элементов.

Связь с другими темами

Для изучения равенства фигур нужны понятия точки, отрезка, угла и геометрической фигуры. Многоугольник — это фигура, граница которой состоит из отрезков; её вершины и стороны помогают задавать соответствие при наложении. Поэтому полезно уметь распознавать эти элементы и прослеживать их порядок.

Понятие равенства фигур понадобится при изучении равенства треугольников и доказательстве геометрических свойств. Если треугольники равны, их соответствующие вершины, стороны и углы можно сопоставить по совмещению. Умение следить за таким соответствием помогает строить дальнейшие рассуждения без путаницы.

Что запомнить

• Равные фигуры можно совместить наложением.
• При совмещении фигуры не деформируют.
• Совпадают все соответствующие точки и элементы.
• Соответствие вершин многоугольников задают в определённом порядке.
• Равенство отдельных элементов не всегда доказывает равенство фигур.