6. Сравнение отрезков и углов

Определения и обозначения

Сравнение отрезков — установление, равны ли два отрезка или один из них больше другого. Для этого отрезки накладывают друг на друга, а не судят по их наклону или месту на чертеже. Сравнение помогает понять, совпадают ли длины или одна длина превышает другую.

Равные отрезки — отрезки, которые совмещаются при наложении. Иными словами, их можно расположить так, чтобы совпали оба конца. Это определение позволяет проверить равенство даже тогда, когда отрезки нарисованы в разных местах или под разными углами.

Сравнение углов — установление, равны ли два угла или один из них больше другого. Угол образован двумя лучами с общим началом; это общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Сравнение показывает, одинаково ли раскрыты углы или один раскрыт шире.

Равные углы — углы, которые совмещаются при наложении. При этом должны совпасть вершины и обе стороны одного угла с соответствующими сторонами другого. Такое правило отделяет реальное равенство от случайного сходства рисунков.

Как это устроено

Наложение позволяет сравнивать геометрические фигуры независимо от их положения на чертеже. Фигуру можно передвинуть и повернуть, не меняя её размеров, поэтому её расположение само по себе не говорит о длине или величине. Если при наложении соответствующие части совпали, значит, они равны; если одна фигура выступает за другую, размеры различаются.

Чтобы сравнить отрезки, совмести один конец первого отрезка с одним концом второго. Затем мысленно или с помощью прозрачной бумаги поверни один отрезок так, чтобы они лежали на одной прямой в одном направлении. Совпадение вторых концов означает равенство: оба отрезка занимают одну и ту же часть прямой.

Если после совмещения концов меньший отрезок целиком лежит на большем, а его второй конец не доходит до конца большего, меньший является частью большего. Это показывает, что длина большего отрезка больше. Проверка именно концов нужна потому, что совпадение произвольных точек ещё не означает равенства длин.

Для сравнения углов сначала совмещают их вершины, затем одну сторону первого угла направляют вдоль одной стороны второго. После этого сравнивают положения оставшихся сторон: совпали — углы равны, одна сторона оказалась внутри другого угла — его раскрытие меньше. Такое наложение превращает два угла в наглядное сравнение по общему началу.

Совмещаемые стороны важно направлять в одну сторону, иначе можно сравнить не те области углов. Угол рассматривают вместе с его внутренней областью — частью плоскости между сторонами. Если мысленно совместить стороны в противоположных направлениях, можно принять за внутреннюю область другую часть плоскости и получить неверный результат.

Сравнение отрезков и углов

Сначала выбери вид фигуры, которую сравниваешь, затем найди нужные части для наложения. Таблица помогает сопоставить общий смысл сравнений и различия в действиях с отрезками и углами. Ориентируйся на совпадение или взаимное расположение частей, а не на внешний вид фигур на рисунке.

Разбор задач

Задача 1. Даны отрезки AB и CD. При наложении точка A совмещается с точкой C, а точка B — с точкой D. Сравнить отрезки. Здесь уже указано, что произошло с обоими концами, поэтому нужно применить определение равных отрезков.

1. Совместились первые концы: A и C.
2. Совместились и вторые концы: B и D. Значит, отрезки занимают одну и ту же часть прямой при наложении.
3. По определению отрезки AB и CD равны.

Ответ: AB = CD. Полное совпадение концов означает, что совпали и сами отрезки.

Задача 2. Даны отрезки AB и CD. После совмещения концов отрезка AB точка B оказалась между точками C и D. Какой отрезок больше? Нужно выяснить, какой отрезок покрывает другой полностью, а какой продолжается дальше.

1. Совмести один конец AB с одним концом CD, как задано в условии.
2. Точка B оказалась между C и D, поэтому отрезок AB заканчивается раньше, чем CD.
3. Отрезок AB целиком расположен на части CD. Следовательно, CD длиннее.

Ответ: отрезок CD больше отрезка AB. Положение точки B между C и D показывает, что меньший отрезок не достигает второго конца большего.

Задача 3. Сравнить углы AOB и COD, если при совмещении вершин O и C и сторон OA и OC сторона OB проходит внутри угла COD. Совмещение вершин и одной стороны даёт общую точку отсчёта, а положение второй стороны показывает, насколько раскрыты углы.

1. Совмести вершины O и C, затем стороны OA и OC, направив их в одну сторону.
2. Сторона OB проходит внутри угла COD, значит, внутренняя область угла AOB лежит внутри внутренней области угла COD.
3. Раскрытие AOB меньше раскрытия COD, поэтому угол AOB меньше угла COD.

Ответ: ∠AOB < ∠COD. Длина сторон на этот вывод не влияет: сравнивается раскрытие между ними.

Типичные ошибки

Сравнивать отрезки по их положению на рисунке — ошибка: наклонный отрезок может быть длиннее или короче горизонтального. Её допускают, потому что глаз оценивает расположение, а не точную длину. Проверь себя наложением: совмести концы и сравни вторые концы.

Если при наложении отрезков совмещать произвольные точки, можно получить неверный вывод: равенство таких точек не говорит о равенстве всего отрезка. Причина ошибки — невнимание к тому, что длину ограничивают именно концы. Убедись, что совмещены концы, а при проверке равенства совпали оба конца.

Считать углы равными лишь потому, что на рисунке они выглядят одинаково, ненадёжно: рисунок может быть выполнен неточно. Такое сходство не подтверждает возможность полного совмещения. Проверь углы наложением: совмести вершины и одну сторону, затем сравни вторые стороны.

Сравнивать углы по длине их сторон тоже неправильно. Длинные стороны не делают угол больше: его величина зависит от раскрытия между сторонами. Для самопроверки представь, что стороны продолжены или укорочены: если раскрытие не меняется, величина угла остаётся той же.

Связь с другими темами

Для сравнения нужно знать, что такое точка, прямая, отрезок, луч и угол, а также различать вершину и стороны угла. Отрезок ограничен двумя концами, а стороны угла являются лучами с общим началом; эти особенности определяют, какие части совмещать. Поэтому полезно сначала уверенно находить нужные элементы геометрических фигур.

Сравнение понадобится при измерении отрезков и углов: прежде чем выражать их длину или величину числом, полезно понимать, равны ли они и какой объект больше. Оно также помогает строить фигуры и доказывать равенство геометрических объектов. Умение аккуратно накладывать фигуры станет основой для дальнейших рассуждений.

Что запомнить

• Равные отрезки совмещаются при наложении.
• Равные углы совмещаются при наложении.
• Больший отрезок содержит меньший при правильном наложении.
• При сравнении углов совмещают вершины и одну сторону.
• Больший угол имеет более широкое раскрытие.
• Положение фигуры на чертеже не влияет на результат сравнения.