§4. Измерение отрезков

Определения и обозначения

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения. Например, за единицу можно выбрать сантиметр. Такой отрезок нужен, чтобы сравнивать длины и выражать их числами.

Измерение отрезка — определение того, сколько раз единичный отрезок или его доля укладывается в измеряемом отрезке. Если отрезок не содержит целое число единиц, используют их части. Измерение позволяет узнать длину и сопоставить её с длинами других отрезков.

Длина отрезка — число, показывающее результат его измерения выбранной единицей. Например, запись 5 см означает, что длина выражена в сантиметрах. Это число нужно для вычислений, а единица показывает, с какой меркой его сравнивали.

Равные отрезки имеют одинаковую длину; если длины двух отрезков равны, то отрезки равны. Поэтому отрезки AB и CD равны, если их длины совпадают. Это определение помогает узнавать равенство отрезков по измерениям и использовать его в задачах.

Как это устроено

Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единицу, например сантиметр, а затем сравнивают отрезок с этой меркой. Число показывает, сколько таких единиц помещается в длине, а если единица укладывается не целое число раз, учитывают её долю. Результат зависит от выбора мерки, потому что большая единица помещается в отрезке меньшее число раз, чем маленькая. Поэтому при сравнении результатов нужно учитывать не только число, но и единицу измерения.

Если заменить единицу более мелкой, числовое значение длины увеличится, хотя сам отрезок останется прежним. Например, в одном сантиметре помещаются десять миллиметров, поэтому длина 3 см записывается как 30 мм. Изменяется не расстояние между концами, а количество выбранных мерок, которое в нём укладывается. При переводе единиц полезно сначала установить, сколько мелких единиц содержится в одной крупной.

Длина отрезка выражается положительным числом: у отрезка есть протяжённость, и она больше нуля. Равным отрезкам соответствуют равные числовые значения длины, если их измеряют одной и той же единицей. Если единицы разные, сначала нужно привести длины к общей единице и лишь затем сравнивать числа. Иначе записи могут выглядеть неодинаково, хотя речь идёт об одинаковой длине.

Пусть точка C лежит между точками A и B. Тогда путь от A до B состоит из двух частей: от A до C и от C до B, поэтому длина всего отрезка равна сумме длин частей: AB = AC + CB. Это свойство позволяет найти неизвестную длину, если известны обе части или целый отрезок и одна часть. Условие «C лежит между A и B» здесь необходимо: оно подтверждает, что именно эти части составляют AB.

Из равенства AB = AC + CB следует, что длина каждой части меньше длины целого. Ведь к длине AC прибавляется положительная длина CB, поэтому результат больше AC; так же целый отрезок длиннее CB. Это свойство помогает проверять вычисления и замечать невозможные ответы. Если найденная часть оказалась длиннее всего отрезка, значит, в решении есть ошибка или неверно понято условие.

Измерение отрезков и свойства их длин

Используй таблицу как краткую памятку: сначала определи, какая ситуация дана в задаче, затем выбери соответствующее свойство. При сложении частей проверь, что точка лежит между концами нужного отрезка. При сравнении длин обязательно учитывай единицы измерения.

Разбор задач

Перевод сантиметров в миллиметры

Отрезок имеет длину 8 см. Нужно выразить эту длину в миллиметрах. Единицы разные, поэтому нельзя просто переписать число 8 без изменения. Воспользуемся соотношением 1 см = 10 мм.

1. Записываем, сколько миллиметров содержится в одном сантиметре: 1 см = 10 мм. Это значит, что каждый сантиметр заменяется десятью миллиметрами. Поэтому при переводе из сантиметров в миллиметры число увеличивается в 10 раз.
2. Умножаем число сантиметров на 10: 8 · 10 = 80. Полученное число показывает длину в миллиметрах. Проверим смысл результата: миллиметр меньше сантиметра, поэтому для той же длины миллиметров должно быть больше.

Ответ: 8 см = 80 мм. Сам отрезок не изменился, изменилось только число, которым выражена его длина. Такая проверка помогает заметить ошибку, если при переходе к более мелкой единице число случайно уменьшили.

Найти длину целого отрезка

Точка C лежит между точками A и B, AC = 3,7 см, а CB = 5,2 см. Требуется найти AB. Поскольку C находится внутри отрезка AB, две указанные части составляют его целиком. Значит, применяем равенство AB = AC + CB.

1. Подставляем известные длины в формулу: AB = 3,7 + 5,2. Обе длины выражены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не нужно. Складываем десятые и целые части или выполняем обычное сложение десятичных дробей.
2. Вычисляем: 3,7 + 5,2 = 8,9. Проверяем результат: длина целого должна быть больше каждой части. Число 8,9 больше и 3,7, и 5,2, поэтому ответ согласуется со свойством отрезков.

Ответ: AB = 8,9 см. Если бы точка C не лежала между A и B, это сложение нельзя было бы обосновать данным свойством. Поэтому проверка расположения точки — обязательная часть решения.

Найти длины двух частей

Точка C лежит между A и B, AB = 12 см, а AC вдвое больше CB. Нужно найти обе части. Обозначим меньшую часть CB через x, тогда AC равна 2x. Так как части вместе составляют весь отрезок, их сумма равна 12 см.

1. Составляем уравнение: x + 2x = 12. Слагаемые — это длины частей CB и AC, а сумма равна длине AB. Объединяем одинаковые слагаемые: 3x = 12.
2. Находим x: 12 : 3 = 4, значит, CB = 4 см. Тогда AC = 2 · 4 = 8 см. Важно назначить x именно той части, которую назвали меньшей: по условию вторая часть вдвое длиннее.
3. Проверяем результат: 4 + 8 = 12 см, а 8 см действительно вдвое больше 4 см. Сумма частей равна AB, и обе длины положительны. Значит, условия задачи выполнены.

Ответ: CB = 4 см, AC = 8 см. Проверка по сумме подтверждает, что части составляют целый отрезок. Проверка отношения подтверждает, что AC вдвое больше CB.

Типичные ошибки

При смене единицы измерения иногда оставляют прежнее числовое значение, например считают, что 8 см — это 8 мм. Так происходит, если помнить о названии единицы, но забыть, что сантиметр состоит из десяти миллиметров. Проверь себя по соотношению 1 см = 10 мм: переходя к более мелкой единице, число должно увеличиться в десять раз.

Иногда длины частей складывают, не проверив, что точка лежит между концами данного отрезка. Это свойство относится только к частям, которые вместе составляют именно этот отрезок. Перед вычислением прочитай условие и установи, какой отрезок разделён точкой; если такого расположения не дано, равенство AB = AC + CB применять нельзя.

Равенство отрезков могут путать с совпадением их названий или буквенных обозначений. Но названия AB и CD указывают, какие точки являются концами, а равенство определяется длинами. Проверка проста: сравни измеренные длины или используй данное в условии равенство длин, а не сходство обозначений.

Ещё одна ошибка — получить длину части больше длины целого и не заметить противоречия. Её допускают, если неверно составили уравнение, перепутали части или ошиблись в вычислении. Сверь ответ с равенством «целое = сумма частей»: целое должно быть больше каждой положительной части, а сумма найденных частей должна совпадать с его длиной.

Связь с другими темами

До изучения измерения отрезков нужно уметь сравнивать отрезки и пользоваться линейкой с делениями. Сравнение помогает понять, какой отрезок длиннее, а линейка позволяет получить числовое значение длины. При измерении важно совместить начало отрезка с нулевой отметкой и считать деления выбранной единицы.

Эти знания пригодятся при нахождении периметров фигур: периметр получают, складывая длины сторон. Свойство сложения длин также используется в задачах, где точка делит отрезок на части. В таких задачах можно находить целый отрезок по частям или неизвестную часть по целому и известной длине.

Что запомнить

• Длина отрезка зависит от выбранной единицы измерения.
• Длина любого отрезка — положительное число.
• Равные отрезки имеют равные длины.
• Если длины отрезков равны, то отрезки равны.
• Если C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
• Длина части отрезка меньше длины всего отрезка.