7. Длина отрезка

Определения и обозначения

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения. Например, если за единицу выбран отрезок длиной 1 см, то другие отрезки можно сравнивать с ним. Это понятие нужно, чтобы выражать длины числом и одинаково понимать результат измерения.

Измерение отрезка — сравнение отрезка с единичным отрезком и определение, сколько таких единиц в нём содержится. Единицей могут быть миллиметр, сантиметр, метр и другие величины. Измерение помогает не просто сравнить отрезки на глаз, а установить их длины и записать результат.

Длина отрезка — положительное число, показывающее результат его измерения выбранной единицей. Например, запись 4 см означает, что длина выражена в сантиметрах и составляет четыре таких единицы. Длина нужна для точного сравнения отрезков, решения задач и построения фигур; число без единицы не всегда сообщает, в каких мерах оно получено.

Равные отрезки — отрезки, имеющие одинаковую длину. Например, отрезки в 3 см равны, даже если на чертеже один изображён горизонтально, а другой наклонно. Это понятие позволяет говорить о равенстве геометрических объектов независимо от их положения на рисунке.

Как это устроено

Для измерения выбирают единичный отрезок потому, что число само по себе не задаёт длину: нужно знать, сколько именно мерок в него укладывается. Если меркой служит сантиметр, длину записывают в сантиметрах; если миллиметр — в миллиметрах. Поэтому числовая величина зависит от выбранной единицы: один и тот же отрезок в миллиметрах выражается большим числом, чем в сантиметрах. Перевод единиц меняет запись, но не расстояние между концами.

Чтобы измерить отрезок линейкой, её шкалу располагают вдоль отрезка и совмещают один конец с отметкой 0. Затем смотрят, напротив какой отметки находится второй конец: это и есть длина в единицах шкалы. Нулём является именно отметка на линейке, а не обязательно её физический край, потому что шкала иногда начинается не у края. Если поставить начало, например, на отметку 2 см, нужно вычесть это показание из отметки у второго конца.

Равные отрезки имеют равные длины, потому что равенство отрезков означает совпадение при наложении: их концы и расстояние между ними совпадают. Значит, один и тот же единичный отрезок укладывается в них одинаковое число раз. Обратно, если длины отрезков равны, их можно совместить так, чтобы совпали концы: отрезки будут равны. Поэтому в задачах равенство отрезков можно устанавливать через равенство их длин.

Если точка C лежит между концами A и B, отрезок AB состоит из частей AC и CB. При измерении обеих частей одной и той же единицей их мерки вместе покрывают весь отрезок, поэтому длина целого равна сумме частей: AB = AC + CB. Это правило позволяет найти неизвестную длину, если известны обе части. Если же известны целое и одна часть, длину другой находят вычитанием: из длины всего отрезка убирают длину известной части.

Чтобы построить отрезок заданной длины, нужно отложить на прямой указанное расстояние от выбранной начальной точки. Линейка помогает отметить нужное значение от нулевой отметки, а затем провести отрезок между начальной и конечной точками. Проверка измерением нужна потому, что отметку можно поставить неточно или линейку сдвинуть. Для точного результата оба действия — построение и проверку — выполняют в одной единице измерения.

Основные свойства длины отрезка

Сначала определите, какие отрезки связаны условием и какая величина требуется. Если известны две части, применяйте сложение, а если целое и часть — вычитание. В записи длины не забывайте указывать единицу измерения.

Разбор задач

Задача 1. Измерить отрезок AB по рисунку с помощью линейки и записать его длину. Числовую отметку нельзя определить без самого изображения или показаний шкалы, поэтому важно правильно выполнить измерение, а не угадывать длину по размеру рисунка. В примере ниже показан порядок действий; конкретный ответ зависит от того, где заканчивается отрезок.

1. Положим линейку вдоль отрезка AB так, чтобы отметка 0 совпала с точкой A.
2. Посмотрим, напротив какой отметки находится точка B. Если она оказалась, например, у 6 см, значит, отрезок занимает шесть сантиметровых единиц.
3. Запишем показание вместе с единицей: AB = 6 см. Если точка B не совпала с целой отметкой, запишем значение с делениями, например 6,4 см.

Ответ: длина AB равна показанию линейки у точки B; при приведённом примере AB = 6 см. Если начало отрезка поставлено не на ноль, длину нужно найти как разность двух показаний. Такой способ не зависит от того, с какого края изготовлена линейка.

Задача 2. Точка C лежит между точками A и B. Найти длину AB, если AC = 3,7 см, а CB = 2,5 см. Так как C находится внутри отрезка, AC и CB составляют его две части. Значит, для нахождения целого нужно сложить длины этих частей.

1. Запишем свойство сложения: AB = AC + CB.
2. Подставим известные значения: AB = 3,7 + 2,5.
3. Выполним сложение: 3,7 + 2,5 = 6,2. Обе длины указаны в сантиметрах, поэтому результат тоже выражаем в сантиметрах.

Ответ: AB = 6,2 см. Проверить результат можно вычитанием: 6,2 − 3,7 = 2,5 см, то есть после удаления части AC остаётся именно CB. Проверка подтверждает, что сложены нужные части и единицы не смешаны.

Задача 3. Отрезок AB длиной 8 см разделён точкой C так, что AC на 2 см больше CB. Найти длины AC и CB. Здесь известна сумма частей и разность между ними, поэтому удобно обозначить меньшую часть буквой x. Тогда CB = x см, а AC = x + 2 см.

1. Составим равенство для всего отрезка: x + (x + 2) = 8.
2. Сложим подобные слагаемые: 2x + 2 = 8, значит, 2x = 6 и x = 3.
3. Получаем CB = 3 см, а AC = 3 + 2 = 5 см. Проверим условие: 5 + 3 = 8 и 5 − 3 = 2.

Ответ: AC = 5 см, CB = 3 см. Проверка нужна, чтобы убедиться одновременно в сумме частей и в их разности. Если проверяется только одно из условий, можно не заметить ошибку в вычислениях.

Типичные ошибки

Считать началом шкалы край линейки. Это происходит потому, что край заметен, а нулевая отметка может находиться чуть дальше. В результате измерение получается завышенным или заниженным. Проверьте, совпадает ли конец отрезка именно с цифрой 0; если начало стоит на другой отметке, вычтите её из показания конца.

Записывать длину без нужной единицы или смешивать сантиметры и миллиметры. Например, число 25 не показывает, имеем ли мы в виду 25 см или 25 мм. Ошибка часто возникает при переводе, когда забывают, что 1 см = 10 мм. Проверяйте обозначения у исходных данных, переводите все длины в одну единицу и только после этого выполняйте вычисления.

Вычитать длины частей, хотя требуется найти весь отрезок. Такое случается, если правило выбирают по внешнему виду чисел, не разобрав расположение точек. Когда точка лежит между концами, части вместе образуют целый отрезок, поэтому их длины складывают. Нарисуйте схему и спросите себя, ищете ли вы целое или одну неизвестную часть.

Считать отрезки равными по виду рисунка. На чертеже разные длины могут казаться одинаковыми, а одинаковые — различаться из-за масштаба или наклона. Рисунок не всегда выполнен точно, поэтому зрительное впечатление не доказывает равенство. Сравнивайте длины по условию или измерением линейкой, если точность рисунка это позволяет.

Связь с другими темами

Чтобы работать с длиной, нужно знать, что такое отрезок, где находятся его концы и что означает принадлежность точки отрезку. Особенно важно понимать, когда одна точка лежит между двумя другими: это помогает правильно составлять сумму длин частей. Дальше эти знания пригодятся при задачах на середину отрезка, где части равны, и на координатную прямую, где длины связаны с расстоянием между точками. Они также используются при нахождении длин сторон геометрических фигур.

Что запомнить

• Длина отрезка — положительное число.
• Длина зависит от выбранной единицы измерения.
• Равные отрезки имеют равные длины.
• Отрезки с равными длинами являются равными.
• Если точка C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
• Длину отрезка измеряют линейкой по расстоянию между его концами.