"Геометрия", Погорелов А.В.
Отрезок можно измерить, сравнив его с заранее выбранным отрезком-единицей. Результат измерения — его длина: положительное число, которое зависит от того, какую единицу взяли за 1. Длина помогает сравнивать отрезки, находить расстояние между точками и вычислять целый отрезок по его частям. Если точка лежит между концами отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единица измерения отрезков — выбранный отрезок, длина которого принимается за 1. Его можно представить как мерку, которой сравнивают другие отрезки. Например, если за единицу выбрали сантиметр, то длины записывают в сантиметрах. Без выбора единицы численное значение длины определить нельзя.
Длина отрезка — положительное число, показывающее, сколько единичных отрезков укладывается в данном отрезке. Например, запись AB = 5 см означает, что длина AB равна пяти сантиметрам. Длина нужна, чтобы сравнивать отрезки и выполнять вычисления с ними. Один и тот же отрезок можно выразить разными числами, если сменить единицу.
Измерение отрезка — сравнение его с единицей измерения и нахождение численного значения длины. Единичный отрезок мысленно или практически откладывают вдоль измеряемого отрезка. Если он укладывается не целое число раз, остаток выражают долей единицы. Так получают точную длину, а не просто зрительную оценку.
Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Если точки обозначены A и B, расстояние между ними равно длине AB. Это число не зависит от того, как именно расположены точки на листе. Понятие расстояния позволяет говорить, насколько точки удалены друг от друга.
Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единицу: например, сантиметр или миллиметр. Без неё число не сообщит, насколько длинен отрезок: длина «5» может означать 5 см или 5 м. Результат меняется вместе с единицей, потому что в коротком отрезке-единице больше раз помещается в том же отрезке. Поэтому при записи измерения указывают и число, и название единицы.
Численное значение длины показывает, сколько раз выбранная мерка содержится в отрезке. Если мерка уложилась ровно четыре раза, длина равна четырём единицам. Если целое число мерок не укладывается, оставшуюся часть измеряют как долю единицы. Так длину можно записать не только целым, но и дробным или десятичным числом.
Равные отрезки совпадают при наложении друг на друга, поэтому единичная мерка укладывается в них одинаковое число раз и их длины равны. Верно и обратное: если длины равны в одной и той же единице, отрезки можно совместить концами и они совпадут. При этом совпадать должны именно размеры, а не места, где отрезки нарисованы. Число длины описывает размер, а не положение фигуры.
Пусть точка C находится между концами A и B. Тогда путь от A до B состоит сначала из части AC, а затем из части CB, без промежутка и наложения частей. Поэтому, чтобы узнать длину целого отрезка, складывают длины частей: AB = AC + CB. Если известна длина целого и одной части, длину другой находят вычитанием.
Единицы переводят, используя соотношение между ними: например, 1 см = 10 мм, а 1 м = 100 см. При переходе к более мелкой единице численное значение увеличивается, а к более крупной — уменьшается. Так, 2,5 м = 250 см; сначала удобно выразить длины одинаковыми единицами, а уже потом сравнивать или складывать. Если длина не составляет целое число единиц, её записывают обыкновенной или десятичной дробью.
| Ситуация | Запись | Что означает |
|---|---|---|
| Длина единичного отрезка | u = 1 | Выбранный отрезок принят за единицу измерения. |
| Равные отрезки | AB = CD | Равным отрезкам соответствуют равные длины. |
| Точка между концами отрезка | C между A и B | Отрезок AB состоит из частей AC и CB. |
| Сложение длин частей | AB = AC + CB | Длина целого равна сумме длин частей. |
| Перевод единиц измерения | 1 м = 100 см | Одну и ту же длину выражают в разных единицах. |
В таблице сначала найди ситуацию, которая совпадает с условием задачи, а затем используй соответствующую запись. Буква u обозначает единичный отрезок, принятый за 1. При вычислениях проверь, что все длины выражены в одинаковых единицах.
Задача 1. Единичный отрезок равен 1 см. Сравнить отрезки AB = 6 см и CD = 4 см и определить, на сколько сантиметров один из них длиннее другого. Обе длины даны в сантиметрах, поэтому их можно сравнивать сразу. Чтобы найти разницу, вычтем меньшую длину из большей.
Ответ: AB длиннее CD на 2 см.
Задача 2. Точка C лежит между точками A и B; AC = 3,7 см, CB = 5,2 см. Найти длину AB. Поскольку C находится между концами, отрезок AB состоит из частей AC и CB. Значит, длину целого нужно получить сложением длин этих частей.
Ответ: AB = 8,9 см.
Задача 3. Точка C делит отрезок AB, причём AB = 14 см, AC в 2 раза меньше CB. Найти длины AC и CB. Обозначим длину AC буквой x. Условие означает, что CB вдвое длиннее AC, то есть CB = 2x; сумма частей равна всему отрезку.
Ответ: AC = 14/3 см, CB = 28/3 см.
Не считай длину по числу концов или делений, нарисованных на рисунке. Деления могут быть условными, а длина определяется только относительно выбранной единицы. Ошибку допускают, когда принимают рисунок за точный чертёж. Проверь, указана ли единица и какова длина одного деления.
Не складывай длины AC и CB автоматически: сначала нужно установить, что C лежит между A и B. Иначе эти части могут не составлять отрезок AB, и сумма не даст его длину. Ошибка возникает, если замечают общую букву C, но не учитывают расположение точек. Проверь условие или порядок точек на прямой.
Нельзя напрямую сравнить, например, 2 м и 150 см как числа 2 и 150. Числа относятся к разным единицам, поэтому сначала переведи обе длины в сантиметры или метры. Эту ошибку допускают, забывая, что при смене единицы меняется численное значение. После перевода убедись, что единицы совпадают.
Не путай отрезок с его длиной: отрезок — фигура, а длина — число с единицей измерения. Отрезки одинаковой длины могут быть нарисованы в разных местах и направлены по-разному. Ошибка возникает, когда равенство длин принимают за совпадение фигур. Проверь, сравниваешь ли ты размеры или положение отрезков.
До изучения длины нужно знать, что такое отрезок, его концы и принадлежность точки отрезку. Особенно полезно понимать, что значит разделить отрезок точкой и когда точка находится между его концами. Это помогает правильно выбирать формулу для целого отрезка и его частей.
Длина понадобится при введении координатной прямой: расстояние между точками можно будет находить по их координатам. Связь расстояния с длиной соединяющего точки отрезка помогает перейти от геометрического рисунка к числам. Затем измерение отрезков пригодится в задачах на периметры, пропорциональные отрезки и построение геометрических фигур.
Почему длина одного и того же отрезка может иметь разные численные значения?
Численное значение зависит от выбранной единицы: чем короче единица, тем больше раз она укладывается в отрезке. Например, 1 м — это 100 см, поэтому длину можно записать как 2 м или 200 см.
Можно ли измерить отрезок, если его длина не выражается целым числом?
Да. Единичный отрезок может уложиться в данном отрезке целое число раз и ещё на часть единицы. Тогда длину записывают дробным или десятичным числом, например 3,7 см.
Почему при делении отрезка точкой его части нужно складывать?
Если точка лежит между концами отрезка, его части идут одна за другой и вместе составляют весь отрезок. Поэтому длина целого равна сумме длин частей.
Как понять, какую единицу измерения выбрать?
Выбирай единицу, подходящую к размеру отрезка и точности задачи. Для небольшого отрезка обычно удобны миллиметры или сантиметры, а для большой длины — метры или километры.
Чем длина отрезка отличается от самого отрезка?
Отрезок — геометрическая фигура, а его длина — положительное число, которое показывает размер этой фигуры в выбранных единицах. Два отрезка могут иметь одинаковую длину, но находиться в разных местах.
4. Измерение отрезков
