"Геометрия", Погорелов А.В.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Он включает свои концы и все точки между ними, поэтому его можно представить как непрерывную часть прямой. Отрезки нужны, чтобы задавать расстояния и описывать стороны геометрических фигур. Их длину измеряют, а равенство проверяют сравнением длин. Если одна точка лежит между концами отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин его частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками и содержащая эти точки. Иными словами, на прямой выбирают два конца и берут все точки между ними вместе с самими концами. Такое понятие позволяет выделить на бесконечной прямой ограниченную часть.
Концы отрезка — две точки, которыми он ограничен; отрезок с концами A и B обозначают AB. Буквы показывают, какие точки являются границами фигуры. По ним можно отличить нужный отрезок, если на чертеже отмечено несколько точек.
Длина отрезка — расстояние между его концами; длину отрезка AB обозначают AB. При измерении выбирают единицу длины, например сантиметр, и выражают результат числом с этой единицей. Так фигуру можно описать количественно и сравнить с другими отрезками.
Равные отрезки — отрезки, имеющие одинаковую длину. Их положение и направление могут различаться, потому что равенство зависит не от места на чертеже, а от расстояния между концами. Это определение нужно для сравнения сторон геометрических фигур.
Чтобы выделить отрезок на прямой, отмечают две точки и рассматривают участок между ними. Точки выбираются границами, потому что именно они ограничивают нужную часть прямой с двух сторон. Между ними остаются все точки прямой, иначе участок был бы разорван. Сами граничные точки тоже включают: без них отрезок не имел бы обозначенных концов.
Обозначение AB называет концы отрезка, а не только две отдельные точки. Когда записывают AB, подразумевают и весь участок прямой между A и B. Это позволяет кратко обозначить фигуру, не перечисляя бесконечно много точек, из которых она состоит. Поэтому важно отличать запись отрезка от перечисления его концов.
Длину находят измерением: отрезок сравнивают с выбранной единицей длины или используют измерительный инструмент. Результатом становится число, например 5 см, а не сама геометрическая фигура. Единицу указывают, чтобы было понятно, с каким мерным отрезком сравнивали. При одной и той же единице измерения длины можно сопоставлять и вычислять.
Если C лежит между A и B, отрезок AB разделён точкой C на части AC и CB. Эти части идут подряд и вместе составляют весь участок от A до B, не оставляя промежутка и не накладываясь друг на друга. Поэтому длина целого равна сумме длин частей: AB = AC + CB. Условие о расположении C между A и B необходимо, потому что при другом порядке точек такая запись может быть неверной.
Равенство отрезков устанавливают по длинам: если длины совпадают, отрезки равны. Так можно сравнивать отрезки, которые начерчены в разных местах или направлены по-разному. Рисунок даёт наглядное представление, но может быть выполнен неточно. Поэтому надёжное основание для вывода — измерения или данные условия задачи.
В таблице собраны обозначения и свойства, которые помогают быстро вспомнить, как работать с отрезками. Сначала найдите понятие или ситуацию, а затем проверьте соответствующую запись и правило. Особенно внимательно проверяйте, указано ли, что точка лежит между концами.
| Понятие или ситуация | Обозначение | Основное свойство |
|---|---|---|
| Отрезок с концами A и B | AB | Содержит концы и все точки между ними |
| Концы отрезка | A и B | Ограничивают отрезок |
| Длина отрезка | AB | Равна расстоянию между концами |
| Точка C между A и B | AB = AC + CB | Длина целого равна сумме длин частей |
| Равные отрезки | AB = CD | Имеют одинаковую длину |
Задача 1. Начертите прямую, отметьте на ней точки A и B и обозначьте отрезок с этими концами. Нужно показать не только границы, но и часть прямой между ними. Для ясности точки A и B расположите на некотором расстоянии друг от друга.
Ответ: отрезок AB — часть прямой от точки A до точки B, включая оба конца.
Задача 2. Точка C лежит между A и B. Найдите AB, если AC = 4 см, а CB = 7 см. Поскольку C расположена между концами, две части идут одна за другой и составляют целый отрезок. Значит, можно применить правило сложения длин частей.
Ответ: AB = 11 см.
Задача 3. Точка C лежит между A и B, AB = 15 см, а AC на 3 см больше CB. Нужно найти обе части. Удобно начать с меньшей части: тогда большую можно выразить через неё, а сумма должна дать известную длину всего отрезка.
Ответ: CB = 6 см, AC = 9 см.
Ошибка: считать отрезком только участок между концами, не включая сами концы. Так думают, потому что слова «между точками» легко принять за исключение этих точек. По определению концы принадлежат отрезку. Проверьте чертёж: точки A и B должны быть отмечены на выделенной части.
Ошибка: путать отрезок AB с его длиной AB. Отрезок — геометрическая фигура, а длина — число, которое выражает расстояние между концами. Одинаковые буквы в записи могут сбивать с толку, но сантиметры относятся к длине, а не к фигуре. Для проверки уточните, спрашивают ли в задаче сам отрезок или его числовую меру.
Ошибка: складывать AC и CB, не проверив, что C лежит между A и B. Формулу AB = AC + CB применяют именно тогда, когда две части составляют отрезок AB. Если порядок точек другой, названия частей сами по себе не доказывают, что они образуют целое. Перед сложением отметьте расположение точек на прямой.
Ошибка: объявлять отрезки равными только потому, что они одинаково выглядят на рисунке. Чертёж может быть нарисован не в точном масштабе, поэтому зрительное впечатление ненадёжно. Равенство устанавливают по совпадающим длинам, известным из условия или измерения. Проверьте числовые значения, а не только вид отрезков.
Для работы с отрезками нужно знать, что такое точка и прямая, а также уметь определять порядок точек на прямой. Это помогает понять, какой участок ограничен выбранными концами и где находится точка между ними. Без этого условия нельзя верно выбрать формулу.
Сложение длин отрезков используют в задачах на расстояния и неизвестные части. Если известна длина целого и одна часть, другую находят вычитанием; если известны обе части, длины складывают. Такие рассуждения помогают составлять простые уравнения.
Равные отрезки понадобятся при изучении геометрических фигур и сравнении их сторон. С их помощью выясняют, какие стороны имеют одинаковую длину, даже если изображение не выполнено в точном масштабе. Это свойство становится важным при изучении фигур и их признаков.
Входят ли концы в отрезок?
Да, оба конца принадлежат отрезку. Кроме них, в отрезок входят все точки прямой между концами.
Чем отрезок отличается от его длины?
Отрезок — геометрическая фигура, состоящая из концов и точек между ними. Длина — число, которое показывает расстояние между концами и записывается с единицей измерения.
Как обозначают отрезок с концами A и B?
Его обозначают AB. Эта запись указывает на концы отрезка, а сам отрезок включает также точки между A и B.
Когда можно сложить длины двух частей и получить длину всего отрезка?
Это можно сделать, если точка, разделяющая отрезок на части, лежит между его концами. Например, если C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
Как понять, что два отрезка равны?
Нужно сравнить их длины. Отрезки равны, если их длины совпадают, даже когда на рисунке они расположены по-разному.
3. Отрезок
