2. Точка и прямая

Определения и обозначения

Точка — основное геометрическое понятие, которое не делят на части и не определяют через более простую фигуру. Точку обозначают заглавной латинской буквой: A, B или M. Такое имя позволяет отличить одну точку от другой и коротко ссылаться на неё в рассуждении. На чертеже точку обычно показывают маленькой отметкой рядом с её буквой.

Прямая — основное геометрическое понятие, представляющее собой бесконечную линию без изгибов. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней, например AB. Второй способ удобен, когда прямую задают две известные точки. Прямую на чертеже обычно изображают частью линии со стрелками на концах, чтобы показать, что она продолжается.

Говорят, что точка принадлежит прямой, если она лежит на этой прямой. Это положение записывают символом ∈: например, A ∈ a означает, что точка A находится на прямой a. Если точка не лежит на прямой, используют символ ∉ и пишут A ∉ a. Эти короткие записи помогают точно передавать сведения с чертежа.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие общую точку. Эту точку называют точкой пересечения и обозначают заглавной буквой, например K. Если прямые AB и CD пересекаются в K, то K лежит на каждой из них: K ∈ AB и K ∈ CD. Так можно указать, где именно прямые встречаются.

Как это устроено

В геометрии невозможно объяснить каждое понятие через другие, не начиная бесконечную цепочку новых объяснений. Поэтому некоторые понятия принимают как исходные и раскрывают их смысл через свойства и примеры. Точка и прямая служат такой основой: с их помощью затем описывают отрезки, лучи и другие фигуры. Их изображения помогают представить понятия, но рисунок не заменяет точное рассуждение.

Аксиома — утверждение, которое принимают без доказательства. Одна из основных аксиом говорит: через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая. Две точки задают её однозначно, потому что существование такой прямой гарантировано, а словосочетание «одна и только одна» исключает возможность выбрать другую прямую через ту же пару. Через одну точку прямых провести можно много, поэтому для однозначного задания нужны именно две различные точки.

Чтобы проверить принадлежность, сначала выясни, что обозначено каждой буквой: заглавной — точка, строчной — прямая, а двумя заглавными — прямая через названные точки. Затем сравни положение точки с линией на чертеже: отметка на линии означает принадлежность, в стороне от неё — непринадлежность. Например, M ∈ a читают «M принадлежит a», а P ∉ a — «P не принадлежит a». В записи сначала указывают точку, затем прямую.

Две различные прямые могут не пересекаться или иметь одну общую точку, но не могут иметь две. Если бы прямые имели две общие точки A и B, обе проходили бы через A и B. Однако аксиома утверждает, что через две различные точки проходит только одна прямая, значит, эти прямые совпали бы, а не были различными. Поэтому у пересекающихся различных прямых ровно одна общая точка.

Взаимное расположение описывают, соединяя сведения о прямых с записями принадлежности. Если названы точки A и B, через них можно провести единственную прямую AB; если точка K лежит на прямых a и b, это записывают K ∈ a и K ∈ b. Тогда K — их общая точка, и при условии, что прямые различны, других общих точек быть не может. Если же точка M не лежит на a, пишут M ∉ a, не делая из этого вывода о её положении относительно других прямых.

Точка и прямая: обозначения и взаимное расположение

В таблице собраны основные записи и их смысл. Сначала найди нужную ситуацию, затем проверь, правильно ли названы точка и прямая. Запись помогает передать геометрическое положение точно, даже если сам чертёж не показан.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены точки A и B. Проведи прямую, проходящую через обе точки, и обозначь её двумя способами.

1. Убедись, что A и B — различные точки: по условию это две отдельные точки. Через них можно провести прямую.

2. Проведи линию через обе отметки и продолжи её в обе стороны. По аксиоме такая прямая только одна.

3. Назови её строчной буквой, например a, и обозначь по лежащим на ней точкам как прямую AB. Ответ: прямая a, или прямая AB.

Задача 2. Даны прямая a и точки M, N, P. По рисунку установи, какие точки лежат на прямой, и запиши это с помощью символов.

1. Посмотри на отметку каждой точки и выясни, совпадает ли она с линией, обозначенной a. Не ориентируйся только на близость точки к линии: важно, лежит ли отметка именно на ней.

2. Предположим, на прямой находятся M и P, а N расположена вне её. Тогда для M и P подходит знак принадлежности ∈, а для N — знак непринадлежности ∉.

3. Запиши полученное: M ∈ a, P ∈ a, N ∉ a. Ответ зависит от расположения отметок на данном рисунке; при других точках на линии записи нужно изменить.

Задача 3. Прямые AB и CD пересекаются в точке K. Запиши, какие точки принадлежат каждой прямой, и объясни, почему у этих прямых не может быть второй общей точки.

1. Обозначение AB указывает на прямую через A и B, значит, A ∈ AB и B ∈ AB. Точно так же C ∈ CD и D ∈ CD.

2. Точка пересечения K лежит на обеих прямых: K ∈ AB и K ∈ CD. Поэтому у AB и CD есть общая точка K.

3. Предположи, что есть ещё одна общая точка, отличная от K. Тогда обе прямые проходят через K и эту вторую точку. По аксиоме через две различные точки проходит одна прямая, значит, AB и CD совпали бы.

Ответ: A, B и K принадлежат AB; C, D и K принадлежат CD. Второй общей точки у двух различных прямых быть не может.

Типичные ошибки

Некоторые думают, что через одну точку проходит только одна прямая. Это путают с аксиомой о двух точках: через одну точку можно провести много прямых, а единственность гарантирована только для пары различных точек. Проверь себя вопросом: названа одна точка или две? Не делай вывод об единственной прямой, если дана только одна точка.

Другая ошибка — перепутать обозначения точки и прямой: например, принять A за прямую или a за точку. Это происходит потому, что обе фигуры называют буквами. Проверка простая: точку обозначают заглавной буквой, прямую — строчной или двумя заглавными буквами её точек.

Иногда символ принадлежности записывают, не сверив, что именно названо точкой, а что прямой, или ставят их в неверном порядке. Запись A ∈ a означает, что точка A лежит на прямой a, а не наоборот. Перед записью прочитай её словами и проверь знак: ∈ означает «лежит», ∉ — «не лежит».

Можно ошибочно считать, что у пересекающихся прямых несколько общих точек. Такое предположение не учитывает единственность прямой через две различные точки. Если бы общими были две точки, прямые совпали бы; поэтому для проверки назови возможные общие точки и вспомни аксиому.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно уметь читать геометрический рисунок и различать точки, обозначенные заглавными латинскими буквами. Это помогает правильно понимать, какие отметки и линии соответствуют буквам. Без этого трудно записать взаимное расположение объектов с помощью символов.

Понятия точки, прямой и принадлежности понадобятся при изучении отрезка, луча и угла: эти фигуры задают с помощью точек и прямых. Они также нужны в доказательствах свойств геометрических фигур. Умение точно называть объекты помогает связывать чертёж с логическим рассуждением.

Что запомнить

• Точка и прямая — исходные понятия геометрии.
• Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.
• Точки обозначают заглавными латинскими буквами.
• Прямую можно обозначить строчной буквой или двумя буквами её точек.
• Запись принадлежности показывает, лежит ли точка на прямой.
• Две различные прямые имеют не более одной общей точки.