"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Он включает не только концы, но и все точки между ними, а его длина показывает расстояние от одного конца до другого. Отрезки помогают задавать расстояния и строить фигуры, а умение сравнивать и складывать их длины пригодится при решении геометрических задач. Если точка лежит внутри отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин его частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, состоящая из двух точек и всех точек, лежащих между ними. Представь две отмеченные точки на прямой: участок между ними вместе с самими точками и есть отрезок. Это определение помогает точно понять, какие точки принадлежат отрезку.
Концы отрезка — две точки, ограничивающие его; отрезок можно обозначить буквами концов, например AB. Буквы показывают, где отрезок начинается и где заканчивается, но не выделяют только эти две точки. Такое обозначение позволяет отличить один отрезок от других в чертеже и условии задачи.
Длина отрезка — расстояние между его концами, выраженное числом в выбранных единицах измерения. Чтобы получить численное значение, отрезок сравнивают с единицей, например сантиметром, и записывают результат вместе с единицей. Длина нужна, когда требуется измерить расстояние или выполнить вычисления.
Равные отрезки — отрезки, имеющие одинаковую длину. Например, если AB = 4 см и CD = 4 см, отрезки AB и CD равны, даже если на рисунке они находятся в разных местах. Это понятие позволяет сравнивать отрезки по размеру, а не по их положению.
Прямая не имеет ни начала, ни конца и продолжается бесконечно в обе стороны. Луч имеет начало, но продолжается бесконечно в одном направлении, поэтому его нельзя ограничить второй конечной точкой. У отрезка есть два конца, и именно они отделяют его от остальной прямой. Поэтому отрезок занимает ограниченную часть прямой, которую можно измерить.
Запись AB указывает на отрезок с концами A и B, а не только на две отдельные точки. Между A и B могут находиться другие точки, и все они вместе с концами входят в отрезок. Это следует из определения: отрезок включает каждую точку прямой, расположенную между его концами. Например, если порядок точек на прямой такой: A, C, B, то C принадлежит отрезку AB.
Длину находят, сравнивая отрезок с единицей измерения, например сантиметром или миллиметром. Число показывает, сколько таких единиц укладывается вдоль отрезка; если измерение не получается целым, используют более мелкую единицу. Результат записывают числом и названием единицы, например 6 см, иначе непонятно, в чём измеряли. Для вычислений важно не смешивать разные единицы: сначала их приводят к одной.
Сравнивать отрезки можно по их длинам: если длины совпали, отрезки равны. На чертеже равные отрезки не обязаны лежать рядом, быть параллельными или направленными одинаково, потому что равенство описывает размер, а не положение. Например, отрезки длиной 3 см остаются равными, даже если один нарисован горизонтально, а другой наклонно. Измерение или условие задачи позволяет установить равенство надёжнее, чем внешний вид рисунка.
Если точка C лежит между A и B, то она делит AB на две части: AC и CB. Вместе эти части составляют весь отрезок, поэтому длина целого равна сумме длин частей: AB = AC + CB. Такое правило позволяет найти неизвестную часть вычитанием известной части из целого. Условие о расположении C необходимо: без него нельзя считать AC и CB двумя частями именно отрезка AB.
| Понятие или ситуация | Что означает | Обозначение или правило |
|---|---|---|
| Отрезок с концами A и B | Часть прямой от A до B вместе со всеми точками между ними | AB |
| Концы отрезка | Точки, ограничивающие отрезок | A и B |
| Длина отрезка | Расстояние между концами, выраженное числом и единицей | Например, AB = 5 см |
| Равные отрезки | Отрезки одинаковой длины | AB = CD по длине |
| Точка C лежит между A и B | Отрезок AB состоит из частей AC и CB | AB = AC + CB |
Сначала найди в таблице понятие или ситуацию, которая встречается в задаче, а затем выбери соответствующее правило. Обращай внимание, указана ли единица длины и лежит ли точка между концами. Именно эти условия помогают правильно использовать запись.
Задача 1. На прямой отмечены точки M, P, Q, N именно в таком порядке. Назови концы отрезка MN и укажи, какие точки ему принадлежат. Нужно учесть, что отрезок содержит и свои концы, и все точки между ними. Порядок отметок на прямой позволяет определить, какие именно точки находятся внутри MN.
Ответ: концы отрезка — M и N; ему принадлежат точки M, P, Q и N. Точки P и Q не становятся концами отрезка, потому что они расположены между M и N. Такой разбор подходит и для других задач, где дан порядок точек на прямой.
Задача 2. Длина отрезка AB равна 8 см. Точка C лежит между A и B, AC = 3 см. Найди CB. Так как C расположена внутри AB, целый отрезок складывается из частей AC и CB. Неизвестную длину части можно получить, если из длины целого вычесть длину известной части.
Ответ: CB = 5 см. Проверка: 3 см + 5 см = 8 см, то есть длины частей дают длину всего отрезка. Единицу измерения сохраняем, потому что все данные задачи заданы в сантиметрах.
Задача 3. Точка C лежит между A и B, AC = 2x + 1 см, CB = x + 2 см, AB = 12 см. Найди x и длины AC и CB. Здесь неизвестен не только отрезок, но и число в выражениях для длин. Связь между целым и частями позволит составить уравнение.
Ответ: x = 3, AC = 7 см, CB = 5 см. Проверка нужна, чтобы убедиться, что найденные значения удовлетворяют и уравнению, и геометрическому условию задачи. Обе длины положительны, а их сумма равна длине всего отрезка.
Иногда отрезком называют только его концы и забывают о точках между ними. Это происходит потому, что на рисунке концы обычно отмечены особенно заметно, а все промежуточные точки могут быть не подписаны. Проверь себя: если точка лежит на прямой между концами, она тоже принадлежит отрезку. Например, при порядке A, C, B точка C лежит на AB.
Ещё одна ошибка — считать, что равные отрезки обязаны совпадать на чертеже. Такое представление возникает, если ориентироваться на расположение линий, а не на их длины. Сравнивай числовые длины: совпадение длины и означает равенство отрезков. Разный наклон или место на рисунке этому не мешают.
Запись AB иногда принимают только за длину или, наоборот, записывают буквами одну лишь числовую величину, забывая единицу. Путаница появляется потому, что одни и те же буквы используют для отрезка и его длины; значение уточняет контекст. Проверь, о чём говорится: об объекте с концами A и B или о его измерении. Если указано число, добавь единицу, например 5 см.
Формулу AB = AC + CB применяют, даже когда не проверили положение точки C. Обычно это делают по привычке, увидев буквы A, B и C в задаче. Сначала выясни, что C лежит именно между A и B, иначе AC и CB не обязательно составляют отрезок AB. После вычисления сложи части и проверь, что результат совпал с длиной целого.
Для изучения отрезка нужно знать, что такое точка и прямая, и уметь отмечать точки на прямой. Порядок точек помогает определить, какие из них лежат между концами отрезка. Без этого трудно решить, какие точки входят в отрезок и можно ли сложить длины его частей.
Понятие длины понадобится при сравнении расстояний, решении геометрических задач и построении фигур. Умение складывать длины частей связано с вычислениями и составлением уравнений. Позже те же навыки помогут находить размеры элементов более сложных фигур.
Входят ли концы в отрезок?
Да, оба конца принадлежат отрезку. Кроме них, в отрезок входят все точки, расположенные между концами.
Чем отрезок отличается от прямой?
Прямая продолжается бесконечно в обе стороны и не имеет концов. Отрезок ограничен двумя концами и содержит только точки между ними и сами концы.
Что обозначают буквами AB: отрезок или его длину?
Буквами A и B обозначают концы, а AB — отрезок с этими концами. Длину этого отрезка тоже часто записывают как AB; по контексту понятно, говорится ли о самом отрезке или о его числовой длине.
Могут ли равные отрезки быть нарисованы по-разному?
Да. Они могут быть расположены в разных местах, иметь разное направление и выглядеть по-разному на схеме, но их длины должны совпадать.
Когда можно сложить длины AC и CB, чтобы получить AB?
Это можно сделать, когда точка C лежит между A и B. Тогда отрезок AB состоит из частей AC и CB, поэтому AB = AC + CB.
1.1. Отрезок
