1.2. Лучи и прямые

Определения и обозначения

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца: она продолжается бесконечно в обе стороны. Прямую обозначают двумя заглавными латинскими буквами, поставленными у любых двух её точек, например AB. Такое обозначение помогает указать, о какой прямой идёт речь, а перестановка букв не меняет саму прямую.

Луч — часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Эта точка называется началом луча, а в другую сторону луч продолжается бесконечно. Луч нужен, чтобы задать линию, выходящую из определённой точки только в одном направлении.

Начало луча — точка, от которой луч продолжается в одном направлении. Луч обозначают двумя буквами, например OA: первая буква O показывает начало, а вторая, A, задаёт направление. Поэтому обозначение помогает отличить лучи, которые начинаются в разных точках или идут в разные стороны.

Противоположные лучи — два луча с общим началом, лежащие на одной прямой и направленные в разные стороны. Они вместе составляют прямую, разделённую общей начальной точкой. Это понятие позволяет точно описать два направления вдоль одной линии.

Как это устроено

Чтобы задать прямую, достаточно выбрать на ней две различные точки и назвать их, например A и B. Через эти точки можно провести прямую, и никакая другая прямая через обе пройти не сможет: если бы две прямые имели сразу две общие точки, они совпали бы. Поэтому пара точек однозначно задаёт прямую. Именно это свойство используют, когда строят прямую линейкой через отмеченные точки.

Возьмём прямую и отметим на ней точку O. По обе стороны от O на прямой остаются две части, и каждая начинается в O и продолжается без конца в свою сторону. Эти части являются лучами, потому что ограничены общей точкой только с одной стороны. Так точка на прямой разделяет её на два луча с общим началом.

Общее начало само по себе ещё не делает лучи противоположными. Например, два луча могут выходить из O под углом, и тогда они не лежат на одной прямой. Для противоположности необходимы сразу два условия: лучи имеют общее начало и находятся на одной прямой, направляясь в разные стороны. Если хотя бы одно условие не выполнено, называть их противоположными нельзя.

В записи луча первым указывают его начало, а следующей буквой — точку, лежащую дальше по направлению луча. Так, OA начинается в O и проходит через A; запись AO, напротив, задаёт луч с началом A, направленный через O. Порядок букв поэтому не формальность: он показывает, откуда начинается луч и куда он идёт. Это особенно важно, когда на одной прямой отмечено несколько точек.

Точка, лежащая на прямой, помогает проверить, принадлежит ли ей заданный луч. Если начальная точка луча находится на прямой и направление луча идёт вдоль этой прямой, луч лежит на ней; он может занимать только одну из двух её частей. Одной общей точки недостаточно: луч, выходящий из точки прямой под углом, не принадлежит этой прямой. Сначала проверяют расположение начала, затем — совпадает ли направление луча с линией.

Сравнение прямой и луча

Пользуйся таблицей, когда нужно определить объект по его свойствам: сначала проверь наличие начала, затем направление продолжения. Для противоположных лучей дополнительно проверь, что они лежат на одной прямой.

Разбор задач

Задача 1. Проведите прямую через точки A и B. Сколько таких прямых можно провести? По условию точки A и B задают линию, поэтому нужно воспользоваться свойством прямой, проходящей через две различные точки. Само построение можно выполнить линейкой, приложив её к обеим точкам.

1. Убедимся, что точки A и B различны: только две разные точки однозначно задают прямую.
2. Приложим линейку так, чтобы её край проходил через A и B, и проведём линию в обе стороны.
3. Проверим возможность другого построения: любая прямая через A и B совпадёт с уже проведённой, потому что через две различные точки проходит ровно одна прямая.

Ответ: можно провести ровно одну прямую AB.

Задача 2. На прямой отмечена точка O. Назовите два луча, на которые она её разделяет, и укажите их общее начало. По разные стороны от O на прямой нужно выбрать точки, например A с одной стороны и B с другой. Выбор букв не меняет результата: важно, что они показывают два противоположных направления от O.

1. Назовём точку на одной стороне A, а на другой — B.
2. Первый луч обозначим OA, второй — OB: в каждом обозначении O стоит первой, потому что это начало.
3. Оба луча лежат на исходной прямой и направлены от O в разные стороны, поэтому они противоположные.

Ответ: лучи OA и OB; их общее начало — точка O.

Задача 3. Точки A, O и B лежат на одной прямой, причём O находится между A и B. Какие лучи противоположны? Обоснуем ответ по двум признакам, а не только по рисунку или порядку букв. То, что O между A и B, означает, что A и B находятся по разные стороны от O.

1. Рассмотрим лучи OA и OB. Оба начинаются в O, так как эта буква стоит первой в их обозначениях.
2. Точки A, O и B лежат на одной прямой, а A и B находятся по разные стороны от O. Значит, лучи OA и OB направлены в разные стороны вдоль одной прямой.
3. Проверим условия определения: начало у лучей общее, и они лежат на одной прямой. Следовательно, эти лучи противоположны.

Ответ: противоположны лучи OA и OB.

Типичные ошибки

Иногда луч изображают так, будто у него два конца. Это происходит потому, что на чертеже его обычно показывают ограниченным отрезком. Но чертёж лишь помогает увидеть начало и направление: в действительности луч бесконечно продолжается от начала. Проверь себя: у луча может быть только одна ограничивающая точка.

Другая ошибка — поменять буквы в обозначении луча местами. Можно подумать, что порядок не важен, как при названии прямой, но для луча первая буква указывает начало. Чтобы проверить запись, найди первую точку: луч OA должен выходить из O, а не из A.

Не всякие два луча с общим началом противоположны. Так считают, забывая, что лучи могут расходиться под углом и не лежать на одной прямой. Проверь оба условия: общее начало и одна прямая, на которой лучи направлены в разные стороны.

Прямую иногда принимают за отрезок, потому что на бумаге линия имеет видимые края. Причина в том, что лист и рисунок ограничены, а геометрическая прямая — нет. Представь, что линию можно бесконечно продолжать в обе стороны: у прямой нет концов, в отличие от отрезка.

Связь с другими темами

Для работы с прямыми и лучами нужно знать, что такое точка, уметь обозначать её заглавной латинской буквой и понимать, что значит принадлежность точки прямой. Эти знания помогают читать обозначения и проверять расположение объектов. Позже прямые и лучи пригодятся при изучении отрезков и углов: в частности, стороны угла являются лучами с общим началом. Они также помогают описывать взаимное расположение геометрических фигур.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• В обозначении луча первой указывают точку его начала.
• Противоположные лучи имеют общее начало и лежат на одной прямой.
• Точка на прямой разделяет её на два противоположных луча.