"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Отрезки сравнивают, чтобы узнать, какой из них длиннее, короче или равен другому. Это можно сделать наложением: совместить концы и посмотреть, где заканчивается каждый отрезок. Можно сравнить и длины — числа, полученные при измерении одной и той же единицей. Равные отрезки имеют одинаковую длину, даже если расположены по-разному. Если точка делит отрезок на две равные части, она является его серединой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина отрезка — число, показывающее, сколько раз выбранный единичный отрезок укладывается в данном отрезке. Единичный отрезок служит меркой: за единицу можно принять, например, 1 сантиметр. Поэтому число без указания единицы не всегда достаточно для описания длины.
Равные отрезки — отрезки, которые можно совместить наложением. При таком совмещении совпадают не только их концы, но и все точки отрезков. Равные отрезки имеют одинаковые длины, поэтому это понятие позволяет узнавать равенство не только по внешнему виду чертежа.
Сравнение отрезков — установление того, какой из двух отрезков длиннее, короче или равен другому. Сравнить их можно наложением или сопоставлением измеренных длин. Такое сравнение помогает решать задачи, даже если отрезки находятся в разных местах чертежа.
Середина отрезка — точка этого отрезка, которая делит его на два равных отрезка. Значит, расстояния от середины до обоих концов одинаковы. Понятие середины нужно, чтобы делить отрезки пополам и находить длину каждой получившейся части.
Чтобы сравнить два отрезка наложением, совмести один конец первого отрезка с одним концом второго. Если совпали и другие концы, отрезки равны. Если один из оставшихся концов оказался дальше от общего начала, соответствующий отрезок длиннее: это видно по тому, что он продолжается за конец другого.
Длина превращает сравнение отрезков в сравнение чисел: большему числу соответствует более длинный отрезок, а равным числам — отрезки одинаковой длины. Но числовые значения можно сравнивать только при одинаковых единицах измерения. Например, 1 м и 90 см нельзя сопоставить как числа 1 и 90: сначала нужно перевести метры в сантиметры или наоборот.
Если длины двух отрезков равны, каждый из них можно наложить на другой так, чтобы совпали концы, поэтому отрезки равны. Обратное рассуждение тоже верно: если отрезки совмещаются наложением, их концы совпадают, а расстояние между концами одинаково. Следовательно, равные отрезки имеют равные длины, и равные длины позволяют заключить о равенстве отрезков.
Пусть точка C лежит между концами A и B. Тогда отрезки AC и CB составляют весь отрезок AB без промежутка и наложения друг на друга, поэтому длина AB равна сумме их длин: AB = AC + CB. Если известны длина целого и длина одной части, другую находят вычитанием. Это правило помогает проверять, согласуются ли данные задачи с расположением точки.
Чтобы определить середину, сначала убедись, что точка принадлежит самому отрезку, а затем проверь, равны ли расстояния от неё до концов. Если C — середина AB, то AC = CB, а длина каждой части равна половине целого: AC = CB = AB/2. Одного условия AC = CB недостаточно, если точка C не лежит на отрезке AB.
Таблица связывает способ сравнения или положение точки с выводом о самих отрезках и их длинах. Для строки с точкой между концами используй правило сложения частей, а для строки о середине — оба условия: принадлежность отрезку и равенство частей. Если длины записаны в разных единицах, сначала приведи их к одной единице.
| Ситуация | Геометрический вывод | Связь длин |
|---|---|---|
| Отрезки совмещаются при наложении | Отрезки равны | Длины равны |
| Один отрезок при совмещении содержится в другом | Содержащий отрезок длиннее | Его длина больше |
| Отрезки имеют одинаковую длину | Отрезки равны | Длины равны |
| Точка делит отрезок на две части | Отрезок состоит из этих частей | Длина целого равна сумме длин частей |
| Точка является серединой отрезка | Она делит отрезок на две равные части | Длины частей равны половине длины целого |
Даны отрезки AB и CD. При наложении их концы совпали. Нужно установить, как соотносятся отрезки. Здесь не требуется измерять их линейкой: совпадение концов при наложении указывает на совпадение самих отрезков.
Ответ: AB = CD, длины отрезков равны.
Длины MN и PQ равны 6 см и 4 см. Требуется определить, какой отрезок длиннее и на сколько. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому числа можно сразу сравнить и найти разность.
Ответ: MN длиннее PQ на 2 см.
Точка C лежит между A и B; AB = 13 см, AC = 5 см. Нужно найти CB и проверить, является ли C серединой AB. Поскольку C расположена между концами, длина целого отрезка складывается из длин частей AC и CB.
Ответ: CB = 8 см; точка C не является серединой AB.
Нельзя решать, какой отрезок длиннее, только по тому, как он выглядит на чертеже. Рисунок может быть сделан не в масштабе, поэтому короткий на вид отрезок на самом деле окажется длиннее. Проверь себя наложением или сравни длины, полученные измерением.
Ошибка — сравнивать числовые значения, выраженные в разных единицах, не переводя их. Её допускают, когда забывают, что единицы имеют разный размер: метр содержит 100 сантиметров. Перед сравнением запиши обе длины в сантиметрах, метрах или другой общей единице.
Равные длины не означают, что отрезки уже совпадают на чертеже. Они могут находиться в разных местах и быть направлены по-разному, но при наложении совмещаются. Для проверки сравнивай именно длины или мысленно перенеси один отрезок к другому, не требуя от них общего положения на рисунке.
Нельзя называть точку серединой, проверив только равенство частей или только принадлежность отрезку. Точка должна одновременно лежать на отрезке и делить его на равные части. Проверь оба условия: точка находится между концами, а длины частей по обе стороны от неё одинаковы.
Чтобы работать с отрезками, нужно знать, что такое точка, прямая и отрезок, а также уметь обозначать отрезок и его концы. Сравнение и равенство длин понадобятся при изучении треугольников: с их помощью устанавливают равенство сторон и рассматривают свойства фигур. Они также важны при построениях циркулем и линейкой.
Правило сложения длин частей связывает геометрию с измерением величин и помогает находить неизвестную длину вычитанием. Та же логика встречается в задачах, где целое состоит из нескольких частей. Умение точно сравнивать длины становится основой для дальнейших геометрических рассуждений.
Как сравнить два отрезка, если они расположены в разных местах чертежа?
Можно измерить каждый отрезок и сравнить длины, записанные в одинаковых единицах. Или перенести один отрезок наложением так, чтобы совпали его конец и конец другого отрезка, а затем сравнить их оставшиеся концы.
Могут ли равные отрезки быть направлены по-разному?
Да. Равные отрезки могут располагаться в разных местах и быть направлены в разные стороны. Для равенства важно, что при наложении они совмещаются, то есть их длины одинаковы.
Почему при сравнении длин важно использовать одинаковые единицы?
Одно и то же расстояние имеет разные числовые значения в разных единицах: например, 1 м — это 100 см. Поэтому перед сравнением нужно выразить обе длины в одной единице.
Как найти длину части отрезка, если известны длины целого и другой части?
Если точка лежит между концами отрезка, длина целого равна сумме длин его частей. Поэтому нужно из длины целого вычесть длину известной части.
Какие условия необходимы, чтобы точка была серединой отрезка?
Точка должна лежать на отрезке и делить его на две равные части. Одного равенства длин частей недостаточно, если точка не принадлежит этому отрезку.
1.3. Сравнение и равенство отрезков
