"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Отрезки можно складывать, вычитать, умножать их длины на число и делить длины на число. Каждому такому действию соответствует построение: отрезки откладывают подряд, находят часть или делят на равные части. Единица измерения помогает выразить длину числом и связать геометрическую фигуру с арифметическим вычислением. Главное — различать сам отрезок и его длину, а при вычитании проверять, что уменьшаемый отрезок не короче вычитаемого.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина отрезка — числовая величина, показывающая, сколько единичных отрезков укладывается в данном отрезке. Единичный отрезок — выбранный эталон длины, например отрезок длиной 1 см. Благодаря единице измерения можно сравнивать отрезки и выполнять действия с их длинами. Равным отрезкам соответствуют равные длины.
Сумма отрезков — отрезок, составленный из последовательно отложенных отрезков; его длина равна сумме их длин. Например, если длины отрезков равны a и b, длина суммы равна a + b. Это определение позволяет связать построение нового отрезка с обычным сложением чисел. Порядок отрезков при построении не меняет общую длину.
Разность отрезков — отрезок, который вместе с вычитаемым отрезком составляет уменьшаемый. Его длина равна разности длин, если уменьшаемый отрезок не короче вычитаемого. Разность показывает, насколько один отрезок длиннее другого. Она нужна и для построений, и для нахождения неизвестной части целого отрезка.
Произведение и частное отрезка на число — отрезки, длины которых соответственно равны произведению или частному длины исходного отрезка и данного числа. При умножении на натуральное число отрезок откладывают несколько раз подряд. При делении на натуральное число исходный отрезок делят на равные части. Эти действия помогают строить отрезки нужной длины.
Действия определяют через длины, потому что отрезок — геометрический объект, а длина выражает его числом. Чтобы сравнивать и вычислять, сначала выбирают единицу измерения: например, сантиметр. Тогда каждому отрезку соответствует числовая длина, и можно применять арифметические правила. При этом число само по себе не задаёт положение отрезка на плоскости: для построения нужно отдельно указать, как его расположить.
Чтобы построить сумму, начертите луч и отложите на нём первый отрезок от начала луча. От его конца в том же направлении отложите второй отрезок, сохраняя его длину; для переноса удобно использовать циркуль. Получившийся отрезок включает обе части без промежутка и наложения. Поэтому его длина равна длине первой части плюс длина второй: весь путь от начала до конца состоит из этих двух длин.
Разность строят, начиная с большего отрезка: его можно отложить на луче, а затем от того же начала отложить меньший. Между концом меньшего и концом большего останется искомая часть. Вместе с меньшим отрезком она образует весь больший, поэтому её длина равна длине большего минус длина меньшего. Если вычитаемый отрезок длиннее уменьшаемого, такой остаток построить нельзя: длина не может быть отрицательной.
Чтобы получить длину, равную исходной, умноженной на натуральное число n, отложите исходный отрезок подряд n раз на одном луче. Например, при n = 3 получатся три равные части, а весь отрезок будет иметь длину, втрое большую исходной. Равенство длин частей важно: иначе это уже не повторение одного и того же отрезка. Построение показывает, почему умножение на натуральное число соответствует многократному сложению.
Деление длины на натуральное число означает, что исходный отрезок надо разделить на столько равных частей, каково это число. Если длина равна a, то длина каждой из n частей составляет a/n, ведь сложение всех частей должно вернуть длину a. Равные части не обязаны иметь целое число сантиметров: например, отрезок длиной 9 см можно разделить на три части по 3 см, а длину 8 см — на три части по 8/3 см. Деление длины и геометрическое разбиение описывают одно и то же действие с разных сторон.
| Действие | Как получить отрезок | Связь длин |
|---|---|---|
| Сложение | Отложить отрезки подряд на одном луче | a + b |
| Вычитание | Отложить меньший отрезок на большем от общего начала | a − b, если a ≥ b |
| Умножение длины на натуральное число | Отложить исходный отрезок подряд n раз | n·a |
| Деление длины на натуральное число | Разделить исходный отрезок на n равных частей | a/n |
Сначала найдите в таблице нужное действие, затем прочитайте, какое построение ему соответствует. Буква a обозначает длину первого отрезка, b — второго, а n — натуральное число. Перед вычитанием проверьте условие a ≥ b.
Даны отрезки AB и CD длиной 3 см и 5 см. Нужно построить отрезок, равный их сумме, и указать его длину. Так как исходные отрезки могут лежать где угодно, для сложения перенесём их на один луч. Тогда построение будет состоять из двух частей, расположенных последовательно.
Ответ: длина суммы равна 8 см. Проверка проста: полученный отрезок состоит из частей длиной 3 см и 5 см, причём их длины в сумме дают весь отрезок. При построении второй части важно начинать именно от P, то есть от конца первой.
Длина отрезка равна 9 см. Требуется построить отрезок, длина которого в 3 раза меньше. «В 3 раза меньше» означает не вычитание трёх сантиметров, а деление исходной длины на 3. Поэтому найдём длину одной из трёх равных частей исходного отрезка.
Ответ: 3 см. Проверка: три отрезка по 3 см составляют исходные 9 см. Если бы длина исходного отрезка не делилась на 3 нацело в сантиметрах, длина части всё равно могла бы быть дробной.
Сумма двух отрезков равна 14 см, а один на 4 см длиннее другого. Нужно найти длины и объяснить построение разности. Удобно представить сумму как две равные меньшие части и дополнительный отрезок длиной 4 см. После удаления этой разности останутся две равные части.
Ответ: 5 см и 9 см. Проверка: их сумма равна 14 см, а разность — 4 см. В построении остаток длиной 4 см вместе с меньшим отрезком образует больший.
Ошибка: складывать или вычитать отрезки, не уточняя, что складываются их длины. Так происходит, когда арифметическое действие принимают за готовое геометрическое построение. Опишите на чертеже, как отрезки расположены и какая часть является результатом. Затем проверьте, совпадает ли длина результата с вычислением.
Ошибка: при построении суммы отложить второй отрезок не от конца первого. Тогда между частями может появиться промежуток или они могут наложиться, и весь построенный отрезок не будет их суммой. Чтобы проверить себя, отметьте общую точку конца первого и начала второго. Длина целого должна складываться только из длин двух последовательных частей.
Ошибка: вычесть длину большего отрезка из длины меньшего и получить отрицательное число как длину отрезка. Эту ошибку допускают, если не проверяют, какой отрезок является уменьшаемым. Перед вычислением сравните длины: из меньшей нельзя получить остаток большей длины. Длина любого отрезка неотрицательна.
Ошибка: считать, что после деления на число каждая часть обязательно имеет целую длину в сантиметрах. Целое число частей может получиться и с дробными длинами, потому что единица измерения не ограничивает возможные размеры отрезков. Проверьте результат умножением: длина одной части, умноженная на число частей, должна дать длину целого отрезка. При необходимости запишите дробь или используйте другую единицу измерения.
До работы с действиями над отрезками нужно уметь измерять их, сравнивать и пользоваться единицами длины. Эти навыки помогают понять, какой отрезок больше и какое число соответствует его длине. Без выбранной единицы измерения числовое значение длины нельзя однозначно записать. А сравнение длин позволяет верно выбрать уменьшаемый отрезок при вычитании.
Действия с длинами применяются в геометрических задачах, например при нахождении периметра — суммы длин сторон фигуры. Они также помогают строить отрезки заданной длины и находить неизвестную часть целого. Умение переходить от рисунка к числовому равенству делает такие задачи понятнее. Обратно, вычисления подсказывают, какую длину нужно отложить при построении.
Можно ли складывать отрезки, расположенные на разных прямых?
Да. Перенесите один отрезок на луч и отложите от его конца второй отрезок. Их взаимное расположение до переноса не меняет длин.
Почему длина суммы отрезков равна сумме их длин?
При построении второй отрезок откладывают от конца первого, не оставляя промежутка и не накладывая их друг на друга. Поэтому весь полученный отрезок состоит из двух частей, а его длина равна сумме длин этих частей.
Как построить разность двух отрезков циркулем и линейкой?
На луче отложите больший отрезок, затем от его начала отложите меньший. Часть между концом меньшего отрезка и концом большего и будет разностью. Такой способ работает, если уменьшаемый отрезок не короче вычитаемого.
Что означает умножить отрезок на натуральное число?
Это значит построить отрезок, длина которого в несколько раз больше исходной. Для этого отложите исходный отрезок подряд столько раз, каково данное натуральное число.
Как разделить отрезок на несколько равных частей?
Постройте на отрезке нужное число равных частей, например с помощью параллельных прямых, проведённых по теореме о пропорциональных отрезках. Длина каждой части равна длине исходного отрезка, делённой на число частей. Части могут иметь дробную длину.
1.4. Действия с отрезками
