"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Длина отрезка показывает, сколько раз в нём помещается выбранный единичный отрезок. Поэтому числовое значение длины зависит от единицы: один и тот же отрезок можно измерить в сантиметрах или миллиметрах и получить разные числа. Эти знания помогают сравнивать отрезки, находить длину целого по его частям и вычислять расстояние между точками. На координатной прямой расстояние находят как модуль разности координат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина отрезка — число, показывающее, сколько раз единичный отрезок укладывается в данном отрезке. Единичный отрезок выбирают как мерку, поэтому длину всегда выражают относительно принятой единицы. Например, если единичный отрезок равен 1 см, результат измерения записывают в сантиметрах.
Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения. Другие длины выражают через него, указывая, сколько таких единиц содержится в отрезке. Эта договорённость позволяет измерять и сравнивать отрезки одним понятным способом.
Расстояние между двумя точками — длина отрезка, который соединяет эти точки. Обозначения AB и BA указывают на один и тот же отрезок, поэтому расстояние не зависит от порядка называния точек. Это удобно, когда нужно описать, насколько далеко расположены точки друг от друга.
Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единичный отрезок, например сантиметр, а затем сравнивают с ним измеряемую длину. Если мерка укладывается целое число раз, это число и есть длина в выбранных единицах. Если целое число раз не укладывается, используют более мелкую единицу или доли единицы, чтобы записать результат точнее.
Сам отрезок остаётся тем же, когда меняют единицу измерения, но его числовая длина меняется. Причина в том, что более мелкая единица помещается в отрезке большее число раз. Например, один сантиметр содержит десять миллиметров, поэтому при переходе от сантиметров к миллиметрам число умножают на 10.
Равные отрезки имеют одинаковые длины, а отрезки с одинаковыми длинами являются равными. Значит, чтобы сравнить отрезки, не обязательно прикладывать их друг к другу: можно сравнить числа, полученные при измерении в одной и той же единице. Если единицы разные, сначала нужно привести длины к одной единице.
Если точка B лежит между A и C, отрезок AC состоит из частей AB и BC. Поэтому длина всего отрезка равна сумме длин частей: AC = AB + BC. Такое правило объясняется тем, что при движении от A к C сначала проходят часть AB, затем часть BC, не пропуская и не считая участок дважды.
На координатной прямой положение точки задаёт её координата, а расстояние между двумя точками равно длине соединяющего их отрезка. Чтобы найти эту длину, вычитают одну координату из другой и берут модуль результата: AB = |x₁ − x₂|. Модуль нужен потому, что расстояние не может быть отрицательным, даже если точки перечислены в обратном порядке.
| Что рассматриваем | Как определяется | Как находят или сравнивают |
|---|---|---|
| Длина отрезка | Число единичных отрезков в данном отрезке | Сравнивают с выбранной единицей измерения |
| Расстояние между двумя точками | Длина отрезка, соединяющего точки | Измеряют соединяющий отрезок; на координатной прямой берут модуль разности координат |
| Длина отрезка при расположении точки между его концами | Сумма длин частей отрезка | Если B между A и C, то AC = AB + BC |
| Зависимость числового значения от выбранной единицы | Число зависит от размера единицы, а длина самого отрезка неизменна | При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается |
Сначала определи, что именно требуется найти: длину одного отрезка, расстояние между точками или целое по частям. Затем выбери подходящую строку таблицы и проверь, в каких единицах даны величины. При сравнении и сложении приводи длины к одной единице измерения.
Задача 1. Длина отрезка равна 8 см. Выразите её в миллиметрах. Здесь нужно изменить единицу, но не саму длину отрезка. Поскольку миллиметр меньше сантиметра, в том же отрезке поместится больше миллиметров.
Задача 2. Точка B лежит между A и C. Известно, что AB = 4,7 см, BC = 3,2 см. Найдите AC. Точка B делит целый отрезок AC на две части, поэтому длина AC складывается из длин обеих частей. Обе величины уже выражены в сантиметрах, значит, переводить единицы не нужно.
Задача 3. На координатной прямой точки A и B имеют координаты −3 и 5. Найдите расстояние AB и объясните, почему ответ не зависит от порядка точек. Координаты лежат по разные стороны от нуля, поэтому расстояние охватывает участок от −3 до 5. Для вычисления используем модуль разности координат.
Ошибка — считать, что длина отрезка не зависит от единицы измерения. Неизменна сама длина, но число при ней меняется: 1 см и 10 мм описывают одну длину. Такую ошибку допускают, смешивая объект и его числовую запись; проверь себя переводом обеих величин в одну единицу.
При переводе сантиметров в миллиметры иногда делят число на 10 вместо умножения. Это происходит, если запомнить только действие, не подумав о размере единицы. Миллиметр меньше сантиметра, значит, миллиметров должно получиться больше; так можно проверить ответ.
Если точка лежит между концами отрезка, некоторые вычитают длины его частей. Но части вместе составляют весь отрезок, поэтому их длины складывают. Проверь результат: длина целого должна быть больше каждой отдельной части.
При вычитании координат можно получить отрицательное число и ошибочно принять его за расстояние. Знак зависит от порядка вычитания, а расстояние от порядка называния точек не меняется. Поэтому всегда бери модуль разности и убедись, что результат неотрицателен.
Для работы с длинами нужно знать, что такое отрезок, где находятся его концы и что означает расположение точки между двумя другими точками. Эти понятия помогают понять, какие части образуют целый отрезок. Без них нельзя правильно выбрать правило для вычисления.
Единицы длины и правила их перевода используются не только в геометрии, но и в практических измерениях. На координатной прямой координаты помогают находить расстояние между точками без линейки. Важно внимательно следить, чтобы сравниваемые величины были выражены в одинаковых единицах.
Сложение длин частей и вычисление расстояния понадобятся при изучении координат и геометрических построений. Эти способы помогают проверять измерения и находить положение точек. Они также связывают числовые вычисления с реальными отрезками.
Почему у одного и того же отрезка длина может выражаться разными числами?
Числовое значение зависит от выбранной единицы измерения. Например, длина 1 см равна 10 мм, поэтому запись в миллиметрах будет иметь большее число.
Как выбрать единицу измерения длины отрезка?
Выбирай единицу, которой удобно измерять данный отрезок и записывать результат. Для небольших предметов обычно используют миллиметры или сантиметры, для больших расстояний — метры или километры.
Как найти длину целого отрезка, если известны длины его частей?
Если точка делит отрезок на части, сложи длины этих частей. Например, если AB = 4,7 см, а BC = 3,2 см и B лежит между A и C, то AC = 4,7 + 3,2 = 7,9 см.
Может ли расстояние между точками быть отрицательным?
Нет, расстояние не бывает отрицательным: это длина отрезка, соединяющего точки. На координатной прямой берут модуль разности координат, поэтому результат всегда неотрицателен.
Как найти расстояние между точками на координатной прямой?
Найди разность координат и возьми её модуль: AB = |x₁ − x₂|. Например, для координат −3 и 5 расстояние равно |−3 − 5| = 8.
1.5. Измерение длины отрезка. Расстояние между точками
