1.6. Понятие о равенстве фигур. Равенство треугольников

Определения и обозначения

Равные фигуры — фигуры, которые совпадают при наложении. Это значит, что каждую точку первой фигуры можно совместить с точкой второй, не оставляя непокрытых частей. Определение помогает отличить точное равенство от простого сходства.

Наложение — способ проверить равенство фигур, мысленно или реально переместив одну из них без изменения формы и размеров. Так сравнивают сами фигуры, а не только их очертания на рисунке. Этот способ нужен, чтобы выяснить, можно ли совместить фигуры полностью.

Равные треугольники — треугольники, которые при наложении совпадают полностью. Совпасть должны не отдельные части, а весь треугольник целиком. Это определение позволяет установить, какие элементы двух треугольников равны.

Соответствующие элементы — вершины, стороны и углы, которые совмещаются при наложении равных фигур. Например, если △ABC = △DEF, то A соответствует D, B — E, C — F. Поэтому AB соответствует DE, а угол A — углу D; обозначения показывают, какие элементы нужно сравнивать.

Как это устроено

Переместить фигуру — значит изменить её положение, а не саму фигуру. При переносе все её точки сдвигаются одинаково, а при повороте поворачиваются вокруг выбранного центра; расстояния между точками сохраняются. Поэтому стороны не становятся длиннее или короче, а углы не меняются. Если после перемещения контуры совпали, фигуры равны.

Чтобы установить соответствие элементов, мысленно наложи одну фигуру на другую и проследи, какие точки встретились. Совпавшие вершины и есть соответствующие вершины. Сторона, соединяющая две вершины, соответствует стороне между их парами, а углы с общей соответствующей вершиной также соответствуют друг другу. Так сопоставление получается последовательным, а не случайным.

У треугольника три вершины, и для полного совпадения каждой из них должна найтись пара. Если совпали все три вершины, то совпадут и соединяющие их стороны: каждая сторона определяется двумя концами. Углы тоже совпадут, потому что образованы соответствующими сторонами. Именно поэтому равенство треугольников означает совпадение всех соответствующих частей, а не только части контура.

Равенство записывают так: △ABC = △DEF. Буквы ставят в таком порядке, чтобы соответствующие вершины занимали одинаковые места: A соответствует D, B — E, C — F. Значит, порядок букв не просто называет треугольники, а задаёт пары элементов. Если записать вершины в другом порядке, соответствия могут измениться.

Из равенства треугольников можно сразу заключить, что равны их соответствующие стороны и углы. Например, из △ABC = △DEF следует AB = DE, BC = EF, CA = FD, а также равенство углов A и D, B и E, C и F. Для такого вывода важно сначала правильно сопоставить вершины по записи. Тогда известную длину стороны или величину угла можно использовать для нахождения соответствующего элемента.

Равенство фигур и равенство треугольников

В таблице собраны определения и соответствия, на которые нужно опираться при сравнении фигур. Сначала найди, какой объект сравнивается, затем проверь, что именно должно совпасть. В строках о треугольниках порядок букв задаёт пары вершин, а по ним определяются пары сторон и углов.

Разбор задач

Задача 1. Даны два изображения одной фигуры: одно повернули и перенесли. Нужно определить, равны ли фигуры. Проверять следует не совпадение их положения на листе, а возможность совместить их после разрешённых перемещений.

1. Представим, что первое изображение перемещают и поворачивают, не растягивая и не сжимая.
2. Сравним контуры и все части фигуры: если каждая точка одного изображения совпадает с точкой другого, наложение полное.
3. Поворот и перенос не меняют форму и размеры, поэтому различие положения не мешает совпадению.

Ответ: фигуры равны, если после поворота и переноса они полностью совмещаются.

Задача 2. Дано △ABC = △DEF. Укажем соответствующие вершины, стороны и углы, а затем запишем равенства элементов. Сопоставление делаем по порядку букв в записи, а не по тому, как треугольники нарисованы.

1. Сравниваем буквы на одинаковых местах: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.
2. Стороны соединяют пары соответствующих вершин, значит, AB ↔ DE, BC ↔ EF, CA ↔ FD.
3. Углы при соответствующих вершинах также образуют пары: ∠A ↔ ∠D, ∠B ↔ ∠E, ∠C ↔ ∠F.
4. Записываем равенства: AB = DE, BC = EF, CA = FD; ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

Ответ: соответствия и равенства перечислены по порядку вершин A, B, C и D, E, F.

Задача 3. При наложении вершина A одного треугольника совпадает с D другого, а B — с E. Нужно определить элементы и найти неизвестную сторону или угол, если известен соответствующий равный элемент. Пусть известно, что сторона AB равна 5 см, а требуется найти DE.

1. Сопоставляем вершины: A ↔ D и B ↔ E. Третьи вершины тоже соответствуют друг другу; обозначим их C и F.
2. По двум концам стороны устанавливаем, что AB соответствует DE.
3. Если треугольники равны, соответствующие стороны равны, поэтому DE = AB.
4. Подставляем известную длину: DE = 5 см. Если бы был задан угол A, ему соответствовал бы угол D, и их величины были бы равны.

Ответ: DE = 5 см; для углов и остальных сторон действует то же правило соответствия.

Типичные ошибки

Считать равными фигуры только из-за одинакового вида или площади. На рисунке фигуры могут выглядеть похоже, а одинаковая площадь не означает совпадения формы и размеров. Так ошибаются, сравнивая лишь внешний вид или один числовой показатель. Проверь, можно ли совместить все точки и части фигуры при наложении.

Путать равенство с подобием. При подобии форма одинакова, но размеры могут отличаться, поэтому фигуры не обязательно наложатся друг на друга. Ошибка возникает, когда сходство очертаний принимают за точное совпадение. Для самопроверки сравни не только форму, но и длины соответствующих сторон и размеры углов.

Записывать равенство треугольников в произвольном порядке. При неверном порядке букв вершины, стороны и углы будут сопоставлены неправильно. Это часто происходит, если переставлять буквы, не сверяясь с наложением. Проверь пары вершин и запиши их в одинаковой последовательности.

Делать вывод о равенстве по одной стороне или одному углу. Единственный совпавший элемент ещё не показывает, что остальные части совпадут. Так рассуждают, распространяя равенство одной части на всю фигуру. Убедись, что есть основание для полного совпадения треугольников, а не только одной пары элементов.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия точки, отрезка, угла и треугольника, а также умение обозначать их элементы буквами. Представление о перемещении без изменения формы и размеров помогает понять, почему работает проверка наложением. Далее равенство треугольников пригодится при изучении признаков, позволяющих доказывать такое равенство без реального наложения. С его помощью обосновывают равенство соответствующих отрезков и углов.

Что запомнить

• Равные фигуры совпадают при наложении.
• Наложение не изменяет форму и размеры фигуры.
• У равных треугольников совпадают соответствующие вершины.
• У равных треугольников равны соответствующие стороны и углы.
• Порядок букв в записи равенства треугольников задаёт соответствие вершин.
• Равенство фигур не следует путать с их подобием.