§ 2. Окружность и круг. Сфера и шар

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром окружности, а одинаковое расстояние — её радиусом. Центр помогает точно задать положение окружности, а радиус — её размер.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. В отличие от самой окружности, круг включает и внутренние точки, и границу. Поэтому, говоря о круге, мы имеем в виду всю плоскую область, а не только линию по краю.

Сфера — поверхность в пространстве, все точки которой равноудалены от центра. Расстояние от центра до любой точки сферы называют радиусом сферы. Это понятие позволяет описать положение и размер пространственной поверхности.

Шар — часть пространства, ограниченная сферой. Шар включает как саму сферу, так и все точки внутри неё. Различие между шаром и сферой помогает понять, обозначаем ли мы только границу тела или всё тело целиком.

Как это устроено

Окружность задаётся центром и радиусом, потому что её точка должна находиться от центра на фиксированном расстоянии. Если взять несколько разных точек на таком расстоянии, они окажутся на одной и той же линии. Изменение центра передвинет окружность, а изменение радиуса сделает её больше или меньше.

Круг получается, если рассматривать не только точки на заданном расстоянии от центра, но и точки, которые находятся ближе. Все точки на расстоянии, равном радиусу, составляют окружность; точки на меньшем расстоянии лежат внутри неё. Именно поэтому круг заполняет область, ограниченную окружностью.

Радиусом называют отрезок от центра окружности или сферы до точки на ней. Его длина одинакова для всех таких отрезков, ведь каждая точка границы равноудалена от центра. Диаметр соединяет две точки окружности или сферы и проходит через центр, поэтому состоит из двух радиусов.

Отрезок с концами на окружности называется хордой. Диаметр — особая хорда: он проходит через центр и имеет длину, равную двум радиусам, d = 2r. Любая другая хорда не длиннее диаметра: если отрезок не проходит через центр, его середина находится ближе к центру, чем крайние точки диаметра.

В пространстве сфера и шар соотносятся так же, как окружность и круг на плоскости. Сфера является только поверхностью-границей, а шар содержит и её, и внутренние точки. Поэтому мяч по форме приближается к шару, а его поверхность — к сфере.

Сравнение окружности и круга, сферы и шара

Сначала определите, где находится фигура: на плоскости или в пространстве. Затем выясните, обозначает ли она только границу или область вместе с внутренними точками. Так проще не перепутать пары «окружность — круг» и «сфера — шар».

Разбор задач

Задача 1

Условие. Построить окружность с центром O и радиусом 3 см. Чтобы получить нужную линию, надо отметить все точки, удалённые от O ровно на 3 см. Циркуль позволяет сохранить это расстояние при проведении окружности.

1. Отметим на плоскости точку O — заданный центр.
2. Раскроем циркуль так, чтобы расстояние между его иглой и грифелем было 3 см. Эту длину проверим по линейке.
3. Поставим иглу в точку O и, не меняя раствора циркуля, проведём замкнутую линию. Каждая её точка будет удалена от O на 3 см.

Ответ: окружность с центром O и радиусом 3 см построена.

Задача 2

Условие. Радиус окружности равен 4 см. Найти диаметр и длину хорды, проходящей через центр. По определению такая хорда является диаметром, поэтому обе величины надо найти одним вычислением. Диаметр состоит из двух радиусов.

1. Обозначим радиус буквой r: r = 4 см.
2. Используем формулу d = 2r, так как от центра до каждого конца диаметра укладывается один радиус.
3. Вычислим: d = 2 · 4 = 8 см. Хорда, проходящая через центр, имеет ту же длину.

Ответ: диаметр равен 8 см, длина указанной хорды — 8 см.

Задача 3

Условие. Даны окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами 3 см и 5 см. Может ли отрезок O₁O₂ длиной 8 см быть их общей хордой? Если отрезок — общая хорда, его концы должны одновременно принадлежать обеим окружностям. Проверим, могут ли окружности с такими радиусами и расстоянием между центрами иметь две общие точки.

1. Сложим радиусы: 3 + 5 = 8 см. Это наибольшее расстояние между центрами, при котором окружности ещё могут иметь общую точку.
2. Если расстояние между центрами равно сумме радиусов, окружности расположены с внешней стороны друг от друга и касаются в одной точке.
3. Общая хорда должна иметь два конца — две общие точки окружностей. При касании есть только одна общая точка, поэтому общей хорды нет.

Ответ: не может. При O₁O₂ = 8 см окружности имеют одну общую точку, а не общую хорду.

Типичные ошибки

Считать окружность и круг одним и тем же. Так ошибаются, потому что в повседневной речи эти слова иногда смешивают. Но окружность — только граница, а круг включает и область внутри неё. Проверьте себя: спрашивают о линии или обо всей плоской области?

Путать сферу и шар. Оба понятия связаны с одной и той же пространственной границей, поэтому различие легко упустить. Сфера — поверхность, шар — поверхность вместе с внутренними точками. Для проверки спросите себя, описана только оболочка или всё пространство внутри.

Называть радиусом расстояние между двумя произвольными точками окружности. Такой отрезок может быть хордой, но радиус обязательно начинается в центре. Ошибка возникает, если не проверить, где находится один из концов. Найдите центр: если отрезок не соединяет его с точкой границы, это не радиус.

Считать любую хорду диаметром. У диаметра, как и у любой хорды, концы лежат на окружности, поэтому их можно перепутать. Отличительный признак диаметра — прохождение через центр. Проведите или мысленно отметьте центр: если отрезок его не пересекает, это хорда, но не диаметр.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия точки, прямой, отрезка, плоскости и расстояния между точками. Например, радиус — это отрезок, длину которого задаёт расстояние от центра до границы. Новые понятия пригодятся при геометрических построениях и изучении взаимного расположения окружностей. Позже окружность и круг понадобятся, когда вы будете находить длину окружности и площадь круга.

Что запомнить

• Окружность состоит из точек плоскости, равноудалённых от центра.
• Круг включает окружность и её внутреннюю область.
• Сфера — поверхность в пространстве, равноудалённая от центра.
• Шар включает сферу и её внутреннюю область.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности или сферы.
• Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.
• Диаметр — наибольшая хорда окружности.