2.1. Определения окружности и круга

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром и обычно обозначают O, а общее расстояние — радиусом R. Например, окружность с центром O и радиусом R состоит из всех точек, удалённых от O ровно на R. Такое определение позволяет описать окружность через центр и расстояние, а не только по её внешнему виду.

Центр окружности — точка, от которой все точки окружности находятся на равном расстоянии. На чертеже центр отмечают внутри окружности и подписывают буквой O. Именно от центра отсчитывают расстояние до границы, поэтому он помогает определить положение окружности и проверить, где находятся другие точки. Сам центр не является точкой окружности, если радиус больше нуля.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Его длину тоже называют радиусом и обозначают R; например, если A лежит на окружности, отрезок OA — радиус, а его длина равна R. Следует различать сам отрезок и число, показывающее его длину. Радиус нужен, чтобы задавать размер окружности и сравнивать расстояния до её центра.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе со всеми точками внутри неё. Значит, круг включает и границу, и область, которую она окружает. Если окружность можно представить как линию, то круг похож на заполненную область. Это различие важно, когда нужно понять, входит ли внутренняя точка в рассматриваемую фигуру.

Как это устроено

Представим, что задана точка O и выбрано расстояние R. Отметим все точки, отстоящие от O ровно на R: они образуют окружность. Причина в том, что каждое такое положение точки одинаково удалено от центра, а точки на других расстояниях условию не подходят. Например, если R = 3 см, то на окружности будут точки, удалённые от O именно на 3 см.

Окружность показывает только границу, потому что в её определение входят точки на строго заданном расстоянии от центра. Круг получается, когда к этой границе добавляют все точки, расположенные ближе к центру. Поэтому центр и внутренняя область принадлежат кругу, но не окружности. Такое различие помогает не путать линию и ограниченную ею часть плоскости.

Пусть X — любая точка, а расстояние от неё до центра O равно OX. Для окружности условие одно: OX = R, так как её точки должны находиться от центра ровно на радиусе. Для круга условие шире: OX ≤ R, потому что допустимы и точки на границе, и точки внутри неё. Если OX < R, точка внутри круга; если OX > R, она находится за его пределами.

У одной окружности все радиусы имеют одинаковую длину не случайно: каждый из них начинается в центре и заканчивается на окружности. А все точки окружности по определению удалены от центра на одно и то же расстояние. Поэтому, если A и B лежат на окружности с центром O, длины OA и OB равны R. Отрезки могут быть направлены по-разному, но их длины совпадают.

На чертеже отметим точку O в середине и проведём несколько отрезков из O к разным точкам границы, например OA и OB. Эти отрезки обозначают радиусы, а линия, по которой они заканчиваются, — окружность. Если область внутри границы закрашена, она вместе с границей изображает круг. Подписи O и R помогают увидеть, где центр и каков размер фигуры; сами отрезки показывают, что радиус можно провести к разным точкам окружности.

Окружность и круг

Сравнивайте расстояние от точки X до центра O с радиусом R: так таблица помогает определить, где находится точка. Для центра и радиуса в графе условия указано, как они связаны с точкой X. Обозначения в задачах могут сопровождаться словами, поэтому всегда проверяйте, обозначен ли отрезок или его длина.

Разбор задач

Задача 1. Построить окружность с центром O и радиусом 3 см. Чтобы построение было точным, нужно сначала задать циркулем нужное расстояние, а затем провести линию, все точки которой удалены от центра на эту величину.

1. Линейкой отмеряем 3 см и устанавливаем на это расстояние ножки циркуля.
2. Ставим иглу циркуля в точку O, не меняя раствора.
3. Поворачиваем циркуль вокруг O: карандашная ножка проводит линию на расстоянии 3 см от центра.

Ответ: проведена окружность с центром O и радиусом 3 см. Раствор циркуля не меняли, поэтому каждая точка полученной линии находится от O на одном и том же расстоянии.

Задача 2. Точка A находится на расстоянии 5 см от центра O. Нужно проверить, принадлежит ли она окружности радиуса 5 см и кругу с теми же центром и радиусом. Здесь решает не название фигуры, а сравнение OA с заданным радиусом.

1. Записываем данные: OA = 5 см, R = 5 см.
2. Для окружности проверяем равенство OA = R. Оно верно, значит, точка A лежит на границе.
3. Для круга проверяем условие OA ≤ R. Оно тоже верно, так как 5 не больше 5.

Ответ: точка A принадлежит и окружности, и кругу. Любая точка окружности входит в круг, потому что граница является частью круга.

Задача 3. Точки B и C находятся от O на расстояниях 4 см и 6 см. Определим их положение относительно круга радиуса 5 см и выясним, может ли одна из них лежать на окружности. Сравним каждое расстояние с R = 5 см: именно так различают внутреннюю область, границу и внешнюю часть.

1. Для точки B: OB = 4 см, а 4 < 5. Значит, B находится внутри круга.
2. Для точки C: OC = 6 см, а 6 > 5. Значит, C находится вне круга.
3. Чтобы точка лежала на окружности, расстояние до O должно равняться 5 см. Ни 4 см, ни 6 см этому условию не соответствует.

Ответ: B лежит внутри круга, C — вне него; ни B, ни C не лежит на окружности радиуса 5 см.

Типичные ошибки

Ошибка: называть окружностью всю область внутри границы. Так говорят, потому что на рисунке часто видят круглую фигуру целиком, а слова «окружность» и «круг» в быту смешивают. Но окружность — линия, а линия не заполняет внутреннюю часть. Проверьте себя: если область закрашена, вся закрашенная фигура — круг, а её край — окружность.

Ошибка: считать, что точка внутри круга принадлежит окружности. Путаются потому, что такая точка действительно находится в круге, но из этого не следует, что она лежит на его границе. Для окружности расстояние до центра должно быть ровно равно радиусу, а у внутренней точки оно меньше. Чтобы проверить ответ, сравните это расстояние с R.

Ошибка: называть радиусом только его длину. Число, например 5 см, сообщает длину, но радиус как геометрический объект — это отрезок от центра до точки окружности. Иногда эти два значения называют одинаково, поэтому легко забыть, что речь может идти о разных вещах. Спросите себя: в условии требуется отрезок или его измерение?

Ошибка: путать центр с точкой окружности. Центр кажется частью круглого рисунка и расположен внутри фигуры, однако он не находится на границе. Точки окружности удалены от него на R, а расстояние от центра до самого себя равно нулю. Если R больше нуля, центр не может быть точкой окружности.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью нужно уметь распознавать точку и отрезок, измерять длину отрезка и сравнивать расстояния. Эти навыки позволяют находить радиус и проверять, где расположена точка относительно границы. Позже окружность понадобится при изучении хорды — отрезка между двумя точками окружности — и диаметра, который проходит через центр. Понятие круга также используется при изучении его площади, а окружность — при изучении её длины.

Что запомнить

• Окружность — линия, все точки которой равноудалены от центра.
• Круг включает окружность и точки внутри неё.
• Расстояние от центра до точки окружности называется радиусом.
• У всех радиусов одной окружности одинаковая длина.
• Точка лежит на окружности, если расстояние до центра равно радиусу.
• Точка принадлежит кругу, если расстояние до центра не больше радиуса.