2.2. Части окружности и круга

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эту точку называют центром, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом. Радиус обычно обозначают буквой r, а центр — буквой O. Такое определение позволяет построить окружность с помощью циркуля.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Концы дуги — это точки, которыми она ограничена; дугу обозначают двумя буквами, например дуга AB. Если между двумя точками есть две дуги и нужно выбрать одну, используют ещё одну букву: дуга ACB проходит через точку C.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Именно его концы лежат на окружности, а все остальные точки отрезка обычно находятся внутри круга. Хорды нужны, чтобы соединять точки окружности прямыми отрезками и сравнивать разные части фигуры.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Поэтому окружность можно представить как границу, а круг — как заполненную область внутри границы. Такое различие важно при описании положения точек и при решении задач.

Как это устроено

Любые две точки окружности делят её на две дуги, потому что по окружности от одной точки к другой можно двигаться в двух направлениях. Одна дуга может быть короткой, а другая — длинной. Поэтому записи с двумя буквами бывает недостаточно: промежуточная точка точно показывает, по какой части окружности нужно идти.

Хорда соединяет концы дуги, но сама не является частью окружности. Причина в том, что хорда — прямой отрезок, а окружность изгибается и состоит из точек её границы. Отрезок между двумя точками окружности проходит внутри круга, за исключением своих концов, поэтому дугу и хорду нельзя путать.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Центр делит такой отрезок на две равные части, каждая из которых является радиусом, поэтому диаметр состоит из двух радиусов. Среди всех хорд диаметр самый длинный: прямая через центр проходит через всю окружность от одного края до противоположного.

Если радиус известен, диаметр находят умножением на 2: d = 2r. Если дан диаметр, радиус получают делением на 2: r = d / 2. Например, при r = 5 см длина диаметра равна 10 см, а при d = 18 см радиус равен 9 см.

Окружность является границей круга, поэтому точка может занимать одно из трёх положений. Внутренняя точка находится внутри границы, точка на окружности лежит на границе, а внешняя точка расположена за пределами круга. Такое разделение помогает точно описывать взаимное положение точек и фигур.

Части окружности и круга

Таблица помогает сравнить объекты по двум признакам: из чего они состоят и где находятся. При разборе рисунка сначала найдите центр и границу, затем определите, является ли отрезок радиусом, хордой или диаметром.

Разбор задач

Задача 1

Условие: радиус окружности равен 4 см. Найдите её диаметр. Нужно определить, какая величина известна, а какая требуется, и выбрать связь между ними.

1. Используем формулу диаметра: d = 2r.
2. Подставляем значение радиуса: d = 2 · 4 см.
3. Выполняем умножение: d = 8 см.

Ответ: диаметр окружности равен 8 см.

Задача 2

Условие: диаметр круга равен 12 см. Найдите радиус. Поскольку диаметр состоит из двух радиусов, искомый радиус будет вдвое меньше диаметра.

1. Выражаем радиус из формулы d = 2r: r = d / 2.
2. Подставляем известное значение: r = 12 см / 2.
3. Получаем r = 6 см.

Ответ: радиус круга равен 6 см.

Задача 3

Условие: на рисунке отмечены центр O и точки A, B на окружности. Отрезок AB проходит через O. Нужно назвать хорду AB, радиусы и диаметр.

1. Отрезок AB соединяет две точки окружности, значит, он является хордой.
2. Так как AB проходит через центр O, эта хорда является диаметром.
3. Отрезки OA и OB соединяют центр с точками окружности, поэтому это радиусы.

Ответ: AB — хорда и диаметр, OA и OB — радиусы. Проверка проста: концы AB лежат на окружности, а сам отрезок проходит через центр.

Типичные ошибки

Называют круг окружностью, потому что в обычной речи эти слова часто используют как синонимы. В геометрии окружность — только граница, а круг включает внутреннюю область. Проверьте себя: если можно закрасить всю область внутри, речь идёт о круге.

Считают любую хорду диаметром, забывая о главном дополнительном условии. Диаметр обязательно проходит через центр, тогда как обычная хорда может располагаться в стороне. Проведите отрезок мысленно и проверьте, пересекает ли он центр.

Путают радиус и диаметр, принимая длину диаметра за радиус. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому он вдвое длиннее. Для проверки используйте формулы d = 2r и r = d / 2.

Считают дугой отрезок между двумя точками, потому что оба объекта имеют одинаковые концы. Дуга лежит на изогнутой границе окружности, а хорда является прямым отрезком внутри круга. Посмотрите, повторяет ли часть фигуры линию окружности или соединяет её концы напрямую.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь различать точку, прямую, отрезок и луч, а также измерять длины отрезков. Эти базовые навыки нужны, чтобы правильно читать чертёж и понимать, какие элементы входят в окружность и круг.

Радиус, диаметр и хорда понадобятся при изучении свойств окружности и геометрических построений циркулем. Умение находить связь d = 2r поможет решать задачи на длины и проверять результаты вычислений.

Что запомнить

• Окружность — граница круга.
• Круг включает внутреннюю область и ограничивающую его окружность.
• Радиус соединяет центр окружности с точкой на ней.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр равен двум радиусам: d = 2r.