2.3. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Точки A и A′ называются симметричными относительно точки O, если O — середина отрезка AA′. Иными словами, A, O и A′ лежат на одной прямой, O находится между ними, а OA = OA′. Это определение позволяет точно установить, где должна находиться точка, симметричная данной.

Центральная симметрия с центром O — преобразование, при котором каждой точке A соответствует точка A′, симметричная ей относительно O. Образом точки называют результат такого преобразования. Это правило можно применить ко всем точкам фигуры, чтобы получить её образ.

Точку O называют центром симметрии для пары точек A и A′. Запись A ↔ A′ относительно O показывает, что эти точки соответствуют друг другу при центральной симметрии с центром O. Она напоминает: расстояния от обеих точек до центра равны, а лежат точки по разные стороны от него.

Фигура называется центрально-симметричной, если при симметрии относительно некоторой точки она переходит сама в себя. Эта точка является центром симметрии фигуры. Такое определение помогает отличить настоящую симметрию всей фигуры от внешне похожих пар отдельных её частей.

Как это устроено

Чтобы построить точку A′, симметричную A относительно O, сначала проведи прямую AO. Продолжи её за центр O и отложи на продолжении отрезок OA′, равный OA. Точка должна оказаться именно за центром: если поместить её с той же стороны, что и A, отрезок AA′ не будет иметь O своей серединой.

Проверить построение можно по определению середины. Точки A, O и A′ должны лежать на одной прямой, причём O должна находиться между A и A′; кроме того, длины OA и OA′ должны совпадать. Оба условия нужны одновременно: равенства длин недостаточно, если точки расположены не на одной прямой. Если условия выполнены, O действительно делит AA′ пополам, а значит, A и A′ симметричны относительно O.

Чтобы получить образ фигуры, построй симметричную точку для каждой её точки. Для отрезка достаточно найти образы его концов: если A переходит в A′, а B — в B′, то образом AB будет отрезок A′B′. Это работает потому, что преобразование переводит точки исходного отрезка в точки образа между образами концов. Тот же принцип применяют к вершинам многоугольника, а затем соединяют полученные точки в том же порядке.

Центральная симметрия сохраняет расстояния: если точки A и B переходят в A′ и B′, то AB = A′B′. Её можно представить как поворот на 180° вокруг O, а поворот не растягивает фигуру и не сжимает её. Поэтому сохраняются и величины углов: соответствующие стороны меняют направление, но угол между ними остаётся прежним. Значит, образ имеет ту же форму и размеры, что и исходная фигура.

Чтобы проверить, является ли точка центром симметрии фигуры, представь поворот фигуры на 180° вокруг этой точки. Каждая точка должна перейти в соответствующую точку, а получившийся образ должен полностью совпасть с исходной фигурой. Для многоугольника удобно проверить вершины попарно: предполагаемый центр должен быть серединой каждого отрезка, соединяющего соответствующие вершины. Если хотя бы одна часть не совпала, точка не является центром симметрии фигуры.

Центральная симметрия: соответствия и свойства

В таблице сначала найди объект, который рассматриваешь, а затем проследи, куда он переходит. Для проверки фигуры с центром симметрии проверь не только отдельные точки, но и совпадение всей фигуры с её образом. Для прямой, не проходящей через O, образ будет параллельной ей прямой.

Разбор задач

1. Построение симметричной точки

Постройте точку A′, симметричную точке A относительно заданной точки O. Чтобы точка O была серединой AA′, новая точка должна лежать на прямой AO и на таком же расстоянии от O, что и A. Поэтому сначала определяем линию, а затем откладываем нужную длину по другую сторону центра.

1. Проведите прямую через точки A и O.
2. Продолжите прямую за точку O в сторону, противоположную A.
3. Измерьте OA и отложите на продолжении такой же отрезок: OA′ = OA.
4. Проверьте, что O лежит между A и A′.

Ответ: точка A′ на продолжении AO за O, для которой OA′ = OA. По определению O — середина AA′, поэтому построенные точки симметричны.

2. Координаты симметричной точки

На координатной плоскости даны A(2; −1) и O(1; 3). Нужно найти координаты A′, симметричной A относительно O. Поскольку O — середина AA′, координата центра по каждому направлению равна среднему арифметическому координат концов. Отсюда координату образа можно получить, удвоив координату центра и вычтя координату исходной точки.

1. Для координаты x вычислите x′ = 2xO − xA = 2 · 1 − 2 = 0.
2. Для координаты y вычислите y′ = 2yO − yA = 2 · 3 − (−1) = 7.
3. Проверьте середину: (2 + 0) / 2 = 1, а (−1 + 7) / 2 = 3. Получились координаты O.

Ответ: A′(0; 7). Проверка показывает, что O — середина отрезка AA′ и по горизонтальной, и по вертикальной координате.

3. Поиск центра симметрии четырёхугольника

Определите, имеет ли заданный четырёхугольник центр симметрии, и если имеет — укажите его. При повороте на 180° вершины должны попарно перейти друг в друга. Поэтому центр должен одновременно быть серединой двух отрезков, соединяющих пары соответствующих вершин; проверка одной пары ещё не подтверждает симметрию всего четырёхугольника.

1. Найдите предполагаемые пары вершин, которые должны поменяться местами.
2. Проведите отрезки между вершинами каждой пары и найдите их середины.
3. Проверьте, совпадают ли эти середины. Если да, одна точка является серединой обоих отрезков.
4. Убедитесь, что при повороте вокруг неё на 180° совпадают также стороны и вся фигура.

Ответ: если соответствующие вершины попарно переходят друг в друга и их соединяющие отрезки имеют общую середину, эта точка — центр симметрии четырёхугольника. Если общей середины нет или фигура не совпадает со своим образом, центра симметрии у неё нет.

Типичные ошибки

Ошибка: центр O не лежит на прямой AA′. Иногда достаточно замечают равенство OA и OA′ и забывают, что определение требует общей прямой. Для проверки проведи прямую через A и O: A′ должна лежать на ней, а O — между точками A и A′.

Ошибка: отрезок OA′ откладывают в ту же сторону от O, что и OA. Так получается точка с тем же направлением, а не симметричная точка; при этом O не оказывается серединой AA′. Проверь, что A и A′ находятся по разные стороны от центра и что OA = OA′.

Ошибка: центральную симметрию путают с отражением относительно прямой. Обе операции могут выглядеть как отражение, но для центральной симметрии задана точка, а для осевой — прямая. Убедись, что проверяешь середину отрезка между точками относительно центра, а не перпендикулярность к оси.

Ошибка: фигуру считают центрально-симметричной из-за нескольких похожих частей. Парность отдельных элементов не гарантирует совпадения всего образа с исходной фигурой. Поверни всю фигуру на 180° вокруг предполагаемого центра и проверь соответствие всех её точек и частей.

Связь с другими темами

Для построения симметричных точек понадобятся умения проводить прямую через две точки, строить отрезок и находить его середину. Центральная симметрия связана с поворотом на 180° и помогает распознавать свойства параллелограмма и других фигур. В дальнейшем это понятие используют при изучении преобразований фигур и при доказательстве геометрических свойств.

Что запомнить

• Точка O — центр симметрии точек A и A′ тогда и только тогда, когда O — середина AA′.
• Симметричные точки лежат на одной прямой с центром и по разные стороны от него.
• Центральная симметрия переводит каждую точку в единственную симметричную ей точку.
• Центральная симметрия сохраняет расстояния и величины углов.
• Фигура центрально-симметрична, если при симметрии относительно своего центра переходит сама в себя.
• Поворот на 180° вокруг центра задаёт центральную симметрию.