§ 21. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Точки A и A′ называются симметричными относительно точки O, если O — середина отрезка AA′. Иначе говоря, точки лежат на одной прямой по разные стороны от O, а расстояния OA и OA′ равны. Это условие позволяет точно определить положение образа точки: недостаточно лишь отложить равный отрезок, нужно выбрать противоположную сторону от центра. Обозначение A′ используют для точки, полученной из A.

Точка O является центром симметрии фигуры, если каждая точка этой фигуры при симметрии относительно O переходит в точку той же фигуры. Тогда после преобразования фигура целиком совпадает сама с собой. Центр при этом не обязательно принадлежит фигуре: например, у кольца он находится внутри отверстия. Определение помогает отличить фигуру с центром симметрии от просто похожей на симметричную.

Фигурой, симметричной данной относительно точки O, называют совокупность образов всех точек исходной фигуры при центральной симметрии. Для каждой точки исходной фигуры строится соответствующая точка по другую сторону от O на равном расстоянии. Так получают не отдельное отражение части фигуры, а образ всей фигуры. Это определение пригодится при построении отрезков, углов и многоугольников.

Как это устроено

Чтобы построить точку A′, симметричную A относительно O, сначала проводят прямую AO. Затем продолжают луч AO за центр и откладывают на нём OA′ = OA. Такая линия нужна потому, что центр должен лежать на отрезке AA′, а равные расстояния от него делают O серединой этого отрезка. Если A совпадает с O, точка A′ тоже совпадает с O.

Центральная симметрия задаёт преобразование всей плоскости: каждой точке A ставится в соответствие ровно одна точка A′. Единственность следует из построения: прямая через A и O определена однозначно, а на противоположном луче есть только одна точка на расстоянии OA от O. Сам центр остаётся на месте, поскольку расстояние от него до себя равно нулю. Поэтому преобразование можно применить к любой фигуре, а не только к отдельной точке.

Центральную симметрию можно представить как поворот на 180° вокруг точки O. При таком повороте точка оказывается ровно напротив исходного положения и не меняет расстояния до центра. Поворот переносит фигуру без растяжения и сжатия, поэтому расстояния между любыми её точками сохраняются. По той же причине сохраняются углы: поворот меняет направление сторон, но не величину угла между ними.

Образ отрезка строят по образам его концов: если концы A и B перешли в A′ и B′, соединяют A′ и B′. Для угла достаточно найти образы его вершины и двух точек на сторонах, а затем провести новые стороны через полученные точки. У многоугольника строят образы всех вершин и соединяют их в том же порядке, что и исходные. Такой порядок сохраняет соседство вершин и не позволяет случайно получить другую фигуру.

Чтобы проверить, есть ли у фигуры центр симметрии, выбирают предполагаемую точку O и мысленно или построением находят образ каждой точки фигуры. Центр подходит только тогда, когда образ каждой точки остаётся в исходной фигуре, а образ всей фигуры совпадает с ней. Проверки лишь одной пары точек недостаточно: отдельные точки могут быть симметричны, хотя фигура целиком — нет. Для многоугольника удобно проверять, переходят ли его вершины попарно друг в друга.

Центральная симметрия: построение и свойства

Используй таблицу как план построения: сначала проверь условие для каждой точки, затем собери образ всей фигуры. Свойства длин и углов помогают проверить готовое построение, но сами по себе не заменяют условие симметричности. Для поиска центра сопоставляй точки фигуры попарно и проверяй, является ли предполагаемый центр серединой отрезков между ними.

Разбор задач

Задача 1. Построить точку, симметричную A относительно O

Даны точки O и A. Нужно получить A′ так, чтобы преобразование было центральной симметрией, а не просто точкой на таком же расстоянии от O. Поэтому сначала задаём прямую, на которой должны лежать оба образа и центр. Затем используем равенство расстояний от центра.

1. Проведи прямую через точки A и O.
2. Выбери луч из O, противоположный лучу OA.
3. Отложи на этом луче отрезок OA′, равный OA.
4. Проверь, что O лежит между A и A′, а OA = OA′.

Равенство расстояний и расположение по разные стороны означают, что O — середина AA′. Значит, полученная точка A′ симметрична A относительно O. Если A = O, точка остаётся на месте.

Задача 2. Построить треугольник, симметричный данному

Пусть дан треугольник ABC и центр O. Образ треугольника должен состоять из образов всех его точек, поэтому начнём с вершин: стороны затем соединятся между образами их концов. Важно сохранить порядок A, B, C, иначе можно неверно соединить полученные точки. Сохранение длин и углов позволит проконтролировать результат.

1. Проведи прямые AO, BO и CO.
2. На противоположных лучах отметь A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′.
4. Сравни соответствующие стороны и углы исходного и построенного треугольников.

Треугольник A′B′C′ — искомый образ ABC. Проверка длин и углов должна подтвердить, что стороны и углы сохранились. Если один из отрезков отложен не на противоположном луче или имеет неправильную длину, соответствующая вершина не будет симметричной.

Задача 3. Найти центр симметрии параллелограмма

Нужно выяснить, имеет ли параллелограмм ABCD центр симметрии, и указать его. Подходящая точка должна быть серединой отрезков, соединяющих пары соответствующих вершин. У параллелограмма противоположные вершины соединены диагоналями, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

1. Обозначь точку пересечения диагоналей AC и BD буквой O.
2. Используй свойство параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому OA = OC и OB = OD.
3. Заметь, что O лежит на диагоналях между противоположными вершинами.
4. Сделай вывод: O — середина AC и BD, значит, A переходит в C, а B — в D.

Точка O переводит вершины парами друг в друга, следовательно, является центром симметрии параллелограмма. Стороны и внутренние точки фигуры также переходят в соответствующие точки параллелограмма. Итак, центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Типичные ошибки

Первая ошибка — располагать симметричные точки на одном луче от центра. Так можно получить равные расстояния, но O не окажется между точками и не будет серединой отрезка AA′. Ошибку допускают, когда помнят только об условии OA = OA′. Проверь, лежат ли точки на одной прямой по разные стороны от O.

Вторая ошибка — откладывать от центра отрезки разной длины. Если OA не равно OA′, точка O не является серединой AA′, даже когда точки лежат на нужной прямой. Это случается при неточном построении или неверном отсчёте длины. Сверь оба отрезка циркулем или линейкой и проверь их равенство.

Третья ошибка — считать, что центр симметрии обязательно лежит на самой фигуре. Определение требует, чтобы при преобразовании фигура переходила в себя, но не требует, чтобы центр был её точкой. Из-за этого можно ошибочно не признать центр кольца или некоторых других фигур. Проверяй соответствие точек фигуры, а не принадлежность центра её контуру.

Четвёртая ошибка — путать центральную симметрию с осевой. При осевой симметрии точки связаны с прямой-осью, а при центральной — с точкой, которая является серединой отрезка между точкой и образом. Путаница возникает потому, что оба преобразования создают симметричные фигуры. Уточни, что задано в условии: точка-центр или прямая-ось, и проверь соответствующее определение.

Связь с другими темами

Для построений нужны понятия прямой, луча и середины отрезка: именно с их помощью находят образ точки относительно центра. Также пригодятся свойства равных отрезков и углов, чтобы проверять результат и сравнивать исходную фигуру с её образом. Центральная симметрия относится к преобразованиям фигур и показывает, как можно перемещать фигуру без изменения её размеров и формы.

Это преобразование помогает разбирать свойства многоугольников, в особенности параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому их точка пересечения становится центром симметрии. Позже этот способ рассуждения пригодится при изучении других фигур и их преобразований: нужно найти точку, относительно которой соответствующие части переходят друг в друга.

Что запомнить

• Центр симметрии — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Точка и её образ лежат на одной прямой по разные стороны от центра.
• Расстояние от центра до точки равно расстоянию от центра до её образа.
• Центральная симметрия сохраняет длины и величины углов.
• Образ многоугольника строят по образам его вершин.
• Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.