§ 22. Поворот

Определения и обозначения

Поворот — преобразование плоскости, при котором каждая точка движется по окружности с центром в одной и той же точке и на один и тот же угол. Иначе говоря, точки фигуры словно вращаются вокруг общего центра. Это определение помогает отличить поворот от других преобразований, например переноса, при котором все точки сдвигаются в одном направлении.

Центр поворота — неподвижная точка, относительно которой выполняется поворот. Обычно его обозначают O. Центр нужен, чтобы определить, по каким окружностям движутся точки: у каждой такой окружности центр один и тот же — O.

Угол поворота — угол, на который поворачивается каждая точка; его обозначают, например, α или записывают числом градусов: 90°, 180°. Направление тоже имеет значение: обычно поворот против часовой стрелки считают положительным, а по часовой — отрицательным. Без указания направления один и тот же угол может привести к разным положениям точки.

Образ точки при повороте — точка, полученная из исходной; образ точки A обычно обозначают A′. Расстояние от центра до образа равно расстоянию от центра до исходной точки: OA′ = OA. Это свойство помогает построить образ и проверить, что он расположен верно.

Как это устроено

Поворот задаётся центром и углом, потому что положение образа зависит и от точки, вокруг которой происходит вращение, и от того, насколько далеко нужно повернуть. Для построения образа A сначала находят расстояние OA. Затем проводят окружность с центром O и радиусом OA: образ A′ обязательно лежит на ней, ведь расстояние до центра не меняется. Так окружность сразу ограничивает все возможные положения образа.

На окружности выбирают точку A′ так, чтобы луч OA повернулся на заданный угол в указанном направлении. Именно направление позволяет выбрать нужную сторону: при повороте на 90° по часовой стрелке и против неё получаются разные точки. Для фигуры используется один и тот же угол, потому что иначе её части повернулись бы по-разному и результат уже не был бы образом при одном повороте. Поэтому для каждой точки соблюдают одно правило: одинаковый угол и одинаковое направление.

Поворот сохраняет расстояния между точками: отрезок, соединяющий две исходные точки, переходит в отрезок той же длины. Причина в том, что при вращении сохраняются взаимные положения точек и длины, а значит, не меняются и углы между отрезками. Поэтому образ отрезка равен исходному отрезку, а образ фигуры равен исходной фигуре. Фигура может оказаться в другом месте и быть повёрнутой, но её размеры и форма остаются прежними.

Чтобы построить образ многоугольника, сначала находят образы его вершин. Каждая вершина движется по собственной окружности с центром в O, но для всех используется тот же угол и направление. Затем полученные точки соединяют в том же порядке, что и исходные вершины: например, A′, B′, C′ для треугольника ABC. Такой порядок сохраняет соответствие сторон и не даёт случайно изменить форму многоугольника.

При повороте на 0° каждая точка остаётся на месте, потому что радиус не меняет направления. Поворот на 180° действует иначе: образ точки лежит на продолжении луча от центра через исходную точку, но по другую сторону от центра. Расстояние до центра при этом остаётся прежним, поэтому O становится серединой отрезка между точкой и её образом. Эти случаи удобно использовать как быструю проверку построения.

Основные свойства поворота

Таблица показывает, какие элементы остаются неизменными и как преобразуются фигуры. Сверяй с ней построение: например, проверь расстояние до центра и длину между парой точек. Если хотя бы одно из этих свойств нарушено, образ построен неверно.

Разбор задач

Постройте образ точки A при повороте вокруг центра O на заданный угол

1. Измерьте или постройте отрезок OA. Он задаёт радиус окружности, на которой может находиться образ: при повороте точка не приближается к центру и не удаляется от него.
2. Проведите окружность с центром O и радиусом OA. Теперь положение A′ нужно искать не во всей плоскости, а только на этой окружности.
3. От луча OA отложите заданный угол в нужном направлении. Точка пересечения нового луча с окружностью и будет A′.

Проверьте результат: OA′ должно равняться OA, а угол между лучами OA и OA′ — соответствовать заданному. Если луч повёрнут не в ту сторону, получится другая точка на той же окружности. Ответ: искомый образ — точка A′, построенная по заданному углу и направлению.

Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 90°

1. Для вершины A проведите окружность с центром O и радиусом OA. От луча OA поверните луч на 90° в выбранном направлении и отметьте на окружности A′.
2. Повторите построение для B и C, каждый раз используя тот же центр, угол и направление. Получатся образы B′ и C′; радиусы окружностей могут быть разными, так как вершины находятся от O на разных расстояниях.
3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины. Так восстанавливаются соответствующие стороны треугольника.

Поскольку у всех трёх вершин одинаковый угол поворота, полученный треугольник является образом ABC при одном преобразовании. Длины сторон и углы сохраняются, поэтому новый треугольник равен исходному. Ответ: искомый образ — треугольник A′B′C′.

Точка A после поворота вокруг O перешла в A′. Найдите угол поворота и постройте образ точки B при том же преобразовании

1. Проведите лучи OA и OA′. Угол между ними показывает величину поворота: его измеряют от исходного луча OA к лучу OA′.
2. Определите направление перехода от OA к OA′ — по часовой стрелке или против неё. Это важно: одного числа градусов без направления недостаточно.
3. Проведите луч OB и отложите от него найденный угол в том же направлении. На новом луче отметьте B′ так, чтобы OB′ = OB.

При таком построении B переходит в образ по тому же правилу, что и A: общий центр, одинаковый угол и одно направление. Проверьте, что точка B′ лежит на окружности с центром O и радиусом OB. Ответ: угол поворота равен углу от OA к OA′ с учётом направления; образ B — построенная точка B′.

Типичные ошибки

Поворачивают точку вокруг неё самой, а не вокруг указанного центра. Так бывает, если забывают, что центр поворота задаётся отдельно и остаётся неподвижным. Проверьте построение: отрезок от указанного центра до исходной точки должен быть радиусом окружности, на которой лежит образ.

Изменяют расстояние от центра до точки и ставят образ ближе или дальше. Ошибка возникает, если воспринимать поворот как произвольное перемещение по плоскости. Для проверки сравните OA и OA′: они должны быть равны, поскольку обе точки находятся на одной окружности с центром O.

Поворачивают разные вершины на разные углы. Обычно так происходит, когда угол откладывают отдельно для каждой вершины и теряют общее правило преобразования. Проверьте все построения: от каждого исходного луча к соответствующему лучу-образу должен откладываться один и тот же угол.

Не учитывают направление поворота и строят образ по другую сторону от исходного луча. Это случается, когда задан только размер угла, а направление не отмечено или выбрана неверная сторона. До построения укажите, куда поворачивается луч; после него сравните расположение образа с этим указанием.

Связь с другими темами

Для построения поворота нужны умения строить углы и окружности: окружность задаёт возможное положение образа, а угол — его направление. Свойства равенства треугольников помогают объяснить, почему фигура после поворота сохраняет форму и размеры. Поворот относится к движениям плоскости и связан с симметрией фигур. Позже это преобразование пригодится в координатной геометрии и задачах на построение, где нужно находить образы точек и фигур.

Что запомнить

• Поворот задаётся центром и углом.
• Центр поворота остаётся неподвижным.
• Расстояние от центра до точки при повороте не меняется.
• Все точки поворачиваются на один и тот же угол в одном направлении.
• Поворот сохраняет расстояния и величины углов.
• Образ фигуры строят по образам её характерных точек.