§ 23. Гомотетия: подобие фигур

Определения и обозначения

Гомотетия — преобразование плоскости с центром O и ненулевым коэффициентом k, при котором точка A переходит в точку A′ на прямой OA. Точку A′ называют образом точки A. Такое преобразование позволяет увеличивать или уменьшать фигуру, сохраняя её форму.

Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой задаётся преобразование. Любую точку и её образ соединяют прямой, проходящей через O. Центр нужен, чтобы определить, в каком направлении перемещаются точки фигуры.

Коэффициент гомотетии — ненулевое число k, определяющее направление и масштаб преобразования. Расстояние от центра до образа связано с исходным расстоянием равенством OA′ = |k| · OA. Знак k указывает, на каком луче лежит образ, а модуль — во сколько раз изменяется расстояние.

Подобные фигуры — фигуры, которые можно совместить движением после изменения размера в одном и том же отношении. Это положительное отношение соответствующих длин называют коэффициентом подобия. Понятие помогает сравнивать форму фигур, даже если их размеры различаются.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A, проведи прямую OA и отметь на ней A′ так, чтобы OA′ = |k| · OA. Если k положителен, откладывай расстояние от O в направлении точки A, то есть на том же луче. Если k отрицателен, откладывай его на противоположном луче: знак меняет направление, но не превращает расстояние в отрицательное. Например, при k = −2 образ находится по другую сторону от центра и вдвое дальше от него.

Рассмотрим точки A и B и их образы A′ и B′. Векторы OA′ и OB′ получаются умножением векторов OA и OB на одно и то же число k, поэтому вектор A′B′ равен k · AB, а длина A′B′ — |k| · AB. Значит, расстояния между любыми парами точек меняются в одинаковое число раз. Угол между такими векторами не меняется: умножение обоих на одно число либо сохраняет направления, либо разворачивает оба вектора на 180°, так что угол между ними остаётся прежним.

Пусть прямая не проходит через центр O. Каждая её точка переходит по направлению к O или от него с одинаковым коэффициентом, поэтому образы точек образуют прямую, параллельную исходной. Если же прямая проходит через O, то образ каждой её точки остаётся на той же прямой: меняется положение точек, но не сама прямая. Это свойство удобно использовать при построении и доказательстве параллельности.

Гомотетия связывает фигуры с пропорциональными сторонами и равными углами. Для любых двух соответствующих вершин расстояние увеличивается или уменьшается в |k| раз, а величины соответствующих углов сохраняются. Поэтому образ многоугольника при гомотетии подобен исходному, а коэффициент подобия равен |k|. Обратно, при сравнении подобных фигур проверяют равенство углов и одинаковое отношение соответствующих сторон.

Чтобы найти образ всей фигуры, достаточно построить образы её вершин. Для каждой вершины проводят прямую через центр и эту вершину, затем откладывают нужное расстояние с учётом знака k. После этого соответствующие образы соединяют в том же порядке, что и исходные вершины. Стороны фигуры при этом переходят в отрезки между образами соседних вершин.

Свойства гомотетии и подобия фигур

Таблица помогает отличить свойства конкретного преобразования от признаков, по которым сравнивают две фигуры. Для гомотетии важны центр и знак k, а в отношениях длин и площадей используют модуль коэффициента. При подобии коэффициент q показывает отношение соответствующих сторон, а отношение площадей равно q².

Разбор задач

1. Построение образа треугольника

Задача. Постройте образ треугольника ABC при гомотетии с центром O и коэффициентом 2. Поскольку коэффициент положительный, образы вершин должны лежать на тех же лучах, что и соответствующие исходные вершины. Каждое расстояние от центра увеличится вдвое.

1. Проведите лучи OA, OB и OC.
2. На луче OA отметьте A′ так, чтобы OA′ = 2 · OA. Так же постройте B′ и C′: OB′ = 2 · OB, OC′ = 2 · OC.
3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что вершины исходного треугольника.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ ABC, его стороны вдвое длиннее соответствующих сторон исходного треугольника. Углы при соответствующих вершинах равны.

2. Длина отрезка при отрицательном коэффициенте

Задача. При гомотетии с центром O и коэффициентом −3 отрезок AB длины 4 см переходит в A′B′. Найдите длину A′B′ и опишите расположение образов точек. Отрицательный знак здесь не означает, что длина отрезка станет отрицательной. Он сообщает, что образ каждой точки окажется по другую сторону от O.

1. Для длины используйте модуль коэффициента: |−3| = 3.
2. Умножьте исходную длину на 3: A′B′ = 3 · 4 = 12 см.
3. Для каждой точки проведите прямую через O и точку; образ отметьте на противоположном луче на расстоянии, втрое большем исходного.

Ответ: A′B′ = 12 см; A′ и B′ лежат на противоположных лучах относительно A и B соответственно.

3. Подобие образа и исходного треугольника

Задача. Докажите, что треугольники ABC и A′B′C′ подобны, если A′, B′, C′ — образы A, B, C при одной гомотетии. Чтобы доказать подобие, достаточно установить равенство соответствующих углов и одинаковое отношение соответствующих сторон. Оба факта следуют из свойств одного преобразования.

1. Пусть коэффициент гомотетии равен k. Тогда AB′ здесь не требуется; для сторон треугольника имеем A′B′ = |k| · AB, B′C′ = |k| · BC и C′A′ = |k| · CA.
2. Следовательно, отношения A′B′/AB, B′C′/BC и C′A′/CA одинаковы и равны |k|.
3. Гомотетия сохраняет величины углов, поэтому ∠A′ = ∠A, ∠B′ = ∠B и ∠C′ = ∠C.
4. У треугольников равны соответствующие углы, а соответствующие стороны пропорциональны, значит, они подобны.

Ответ: ABC ∼ A′B′C′, коэффициент подобия равен |k|.

Типичные ошибки

Считать отрицательный коэффициент отрицательной длиной — ошибка: длина отрезка всегда неотрицательна. Так путают знак числа с направлением перемещения точки. Для проверки возьми модуль коэффициента: длина образа равна |k|, умноженному на исходную длину.

Иногда откладывают OA′ = k · OA на том же луче, не учитывая знак. Это происходит, когда коэффициент рассматривают только как масштаб и забывают о направлении. Перед построением проверь знак: при k > 0 выбирай тот же луч, при k < 0 — противоположный.

Ошибочно считать, что при гомотетии меняются углы вместе с размерами фигуры. Обычно увеличение мысленно связывают с растяжением, которое может менять форму, но гомотетия растягивает все направления одинаково. Проверь соответствующие углы: они должны быть равны; если изменились, образ построен неверно.

Коэффициент гомотетии и коэффициент подобия не всегда записывают одинаково. Первый может быть отрицательным, поскольку учитывает направление относительно центра, а коэффициент подобия обычно берут как положительное отношение длин. Чтобы не перепутать их, в вычислениях длин используй |k|, а при сравнении подобных фигур указывай положительное отношение соответствующих сторон.

Связь с другими темами

Для работы с гомотетией нужны знания о параллельных прямых и пропорциях: они объясняют, почему расстояния между образами меняются одинаково. Признаки подобия треугольников помогают узнавать подобные фигуры по равным углам и отношениям сторон. Сама гомотетия, в свою очередь, даёт способ доказывать подобие и решать задачи на отношения длин. Идея преобразования фигур используется при дальнейшем изучении подобия и геометрических построений.

Что запомнить

• Центр гомотетии остаётся неподвижным.
• Расстояния при гомотетии умножаются на |k|.
• Углы при гомотетии сохраняют величину.
• При k > 0 образ точки лежит на том же луче, при k < 0 — на противоположном.
• Гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр, в параллельную ей прямую.
• Соответствующие стороны подобных фигур пропорциональны, а соответствующие углы равны.