Инверсия

Определения и обозначения

Инверсия с центром O и радиусом r — преобразование, которое каждой точке M, отличной от O, ставит в соответствие точку M′ на луче OM так, что OM · OM′ = r². Иными словами, расстояние до образа можно найти по формуле OM′ = r² / OM. Это правило позволяет строить образ любой точки, не совпадающей с центром.

Центр инверсии — точка O, относительно которой задаётся преобразование. Она определяет направления лучей, на которых располагаются точки и их образы. Сам центр обычно не имеет образа, поэтому преобразование рассматривают для точек, отличных от O.

Радиус инверсии — положительное число r, задающее масштаб преобразования и входящее в равенство OM · OM′ = r². Он определяет окружность с центром O, точки которой остаются на месте. Зная r и расстояние OM, можно вычислить, как далеко от центра окажется образ.

Обратные точки — точки M и M′ на одном луче из O, для которых OM · OM′ = r². При инверсии каждая из них становится образом другой. Это понятие нужно, чтобы описывать преобразование попарно и проверять, верно ли построена точка.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки M, сначала проводят луч OM: по определению M′ должен лежать именно на нём. Затем выбирают расстояние OM′ так, чтобы произведение OM · OM′ равнялось r². Если M расположена близко к O, её образ оказывается дальше от O, а если далеко — ближе; это следует из формулы OM′ = r² / OM. Поэтому инверсия как бы меняет местами внутреннюю и внешнюю области относительно окружности радиуса r.

Точки окружности с центром O и радиусом r не сдвигаются, потому что для них OM = r. Подстановка в равенство даёт r · OM′ = r², откуда OM′ = r. Образ находится на прежнем луче и на том же расстоянии r от центра, а значит, совпадает с исходной точкой. Эта окружность служит границей, относительно которой удобно сравнивать расположение точки и её образа.

Инверсия сохраняет углы между пересекающимися кривыми, но не сохраняет длины и расстояния. Причина в том, что расстояние от центра до образа зависит от исходного расстояния по формуле OM′ = r² / OM: одинаковые отрезки в разных местах могут преобразоваться по-разному. При этом направление пересечения кривых сохраняет величину угла. Поэтому инверсия полезна в задачах на углы и конфигурации, но её нельзя считать движением, как симметрию или поворот.

Прямая, проходящая через O, переходит в себя: у каждой её точки образ лежит на том же луче из O, а значит, остаётся на этой прямой. Если прямая не проходит через центр, каждая её точка переходит в точку другой кривой — окружности, проходящей через O. Это связано с тем, что расстояния до центра у точек исходной прямой меняются по-разному, а их образы образуют окружность. В частности, центр инверсии принадлежит этой окружности как точка, хотя сам не имеет образа.

Окружность, проходящая через O, при инверсии становится прямой, не проходящей через O. Это правило соответствует переходу прямой, не проходящей через центр, в окружность через центр, если выполнить обратное преобразование. Окружность, которая не проходит через O, переходит в другую окружность, также не проходящую через O. Такие правила позволяют заменить сложные фигуры более удобными и затем изучать их образы.

Образы прямых и окружностей при инверсии

Сначала определи, является ли фигура прямой или окружностью, затем проверь, проходит ли она через центр O. По этому условию выбери строку таблицы и прочитай результат преобразования. Радиус инверсии меняет конкретное положение образа, но не перечисленные типы фигур.

Разбор задач

1. Найти расстояние до образа точки

Условие. Инверсия имеет центр O и радиус 4 см. Точка M находится на расстоянии 2 см от O. Найдите OM′. Здесь известны радиус инверсии и расстояние от исходной точки до центра, поэтому достаточно применить основное равенство. Образ лежит на луче OM, но для ответа требуется только расстояние.

1. Запишем формулу инверсии: OM · OM′ = r².
2. Подставим данные: 2 · OM′ = 4² = 16.
3. Разделим 16 на 2 и получим OM′ = 8 см.

Ответ: 8 см. Проверка: произведение расстояний равно 2 · 8 = 16 см², то есть r². Образ дальше от центра, что согласуется с тем, что исходная точка находится внутри окружности радиуса 4 см.

2. Построить образ точки

Условие. Постройте образ точки A при инверсии с центром O и радиусом r, если OA = 3r. Сначала важно найти не положение точки на чертеже, а расстояние от неё до образа. Так как OA больше r, образ должен оказаться ближе к центру, но на том же луче.

1. Проведём луч OA с началом в O.
2. Используем равенство OA · OA′ = r² и подставим OA = 3r: 3r · OA′ = r².
3. Разделим обе части на 3r: OA′ = r / 3. Отложим это расстояние от O по лучу OA и обозначим конец отрезка A′.

Ответ: A′ лежит на луче OA на расстоянии r / 3 от O. Проверка показывает, что OA · OA′ = 3r · r / 3 = r². Значит, точка построена по определению инверсии.

3. Образ прямой

Условие. Прямая не проходит через центр O. Объясните, какой фигурой будет её образ при инверсии и через какую точку проходит эта фигура. Здесь не требуется вычислять координаты отдельных точек: расположение прямой относительно центра сразу определяет тип образа. Поэтому можно применить правило для прямой, не проходящей через центр.

1. Проверяем условие: исходная фигура — прямая, и O на ней не лежит.
2. По свойству инверсии такая прямая переходит в окружность.
3. Эта окружность проходит через O: при приближении точки прямой к ближайшей к центру точке образы располагаются всё ближе к центру.

Ответ: образ — окружность, проходящая через центр инверсии O. Не следует считать, что образ остаётся прямой только потому, что исходная фигура была прямой. Прямая сохраняется лишь в случае, когда она проходит через центр.

Типичные ошибки

Иногда из формулы OM′ = r² / OM делают вывод, что образ лежит на противоположном луче. Ошибка возникает из-за того, что формулу воспринимают только как вычисление длины и забывают отдельное условие определения. Проверка проста: сначала проведи луч OM, а затем отложи найденное расстояние от O по этому же лучу.

Нельзя подставлять OM = 0 в равенство OM · OM′ = r² и считать, что так находится образ центра. При нулевом расстоянии левая часть равна нулю при любом конечном OM′, а потому равенство с положительным r² невозможно. Проверяй, что исходная точка отлична от O: центр инверсии сам образа не имеет.

Ещё одна ошибка — считать инверсию преобразованием, сохраняющим длины, как осевая или центральная симметрия. Так думают, потому что в названии есть слово «преобразование», но оно не означает движения; расстояние до центра меняется по формуле r² / OM. Чтобы проверить себя, сравни расстояния до центра до и после преобразования: они обычно различны, хотя произведение равно r².

Путают также случаи для прямых: предполагают, что любая прямая остаётся прямой. Это правило верно только для прямой через центр, поскольку образы её точек лежат на той же прямой. Если центр не принадлежит исходной прямой, образом будет окружность через O; перед применением свойства всегда проверяй, проходит ли фигура через центр инверсии.

Связь с другими темами

Для изучения инверсии нужны понятия окружности, радиуса, луча и расстояния между точками. Без них нельзя ни задать условие OM · OM′ = r², ни построить образ на луче из центра. Навыки работы с прямыми и окружностями помогают применять правила преобразования к фигурам.

Инверсия пригодится в задачах, где нужно преобразовать прямые и окружности или упростить геометрическую конфигурацию. Её свойства помогают переносить рассуждение на образ фигуры и доказывать геометрические утверждения. При этом следует отдельно следить за углами и расстояниями: первые сохраняются, а вторые обычно меняются.

Что запомнить

• Образ точки лежит на том же луче с началом в центре инверсии.
• Для точки и её образа OM · OM′ = r².
• Точки окружности радиуса r с центром в O остаются на месте.
• Инверсия обычно не сохраняет расстояния.
• Прямая через центр переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через центр, переходит в окружность через центр.