§ 24. Прямая призма. Пирамида

Определения и обозначения

Прямая призма — многогранник с двумя равными и параллельными основаниями, боковые рёбра которого перпендикулярны плоскостям оснований. Такое определение помогает отличить прямую призму от наклонной и заранее понять форму её боковых граней.

Основание призмы — один из двух равных параллельных многоугольников, ограничивающих призму. Основания задают форму призмы, а число их сторон позволяет определить количество боковых граней.

Пирамида — многогранник, основанием которого служит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками с общей вершиной. Это определение показывает, как устроена фигура и почему все её боковые грани сходятся в одной точке.

Высота пирамиды — перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания; высотой также называют его длину. Она нужна для вычислений и не обязательно совпадает с каким-либо боковым ребром.

Как это устроено

У призмы есть два равных параллельных основания, потому что её можно представить как многоугольник, перенесённый в пространстве без изменения формы. Соответствующие вершины этих многоугольников соединяются боковыми рёбрами. Каждая сторона основания вместе с двумя такими рёбрами и соответствующей стороной второго основания образует боковую грань. Получается параллелограмм: его противоположные стороны параллельны, так как основания параллельны, а боковые рёбра призмы также параллельны друг другу.

В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому они образуют прямые углы со сторонами оснований. Боковая грань при этом остаётся параллелограммом, но в ней есть прямой угол, а значит, это прямоугольник. Расстояние между плоскостями оснований — высота призмы — равно длине перпендикулярного бокового ребра. Поэтому площадь боковой поверхности можно найти, сложив площади прямоугольников: для прямой призмы она равна произведению периметра основания на высоту.

У пирамиды только одно основание, а все остальные вершины боковых граней заменены одной общей вершиной. Если соединить её с вершинами основания, каждое боковое ребро вместе с одной стороной основания образует треугольную грань. Поэтому у основания с n сторонами получается n боковых треугольников и столько же боковых рёбер. В отличие от призмы, боковые грани пирамиды не образуют пары равных параллельных оснований.

Высоту пирамиды проводят из её вершины перпендикулярно плоскости основания, поскольку именно перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние от точки до плоскости. Боковое ребро обычно наклонено к плоскости основания и потому не является высотой. Перпендикуляр может попасть как внутрь многоугольника основания, так и за его пределы: важна плоскость основания, а не только сам многоугольник. Это различие нужно учитывать, когда в задаче известны длина ребра и высота.

Число боковых элементов определяется числом сторон основания, потому что каждой стороне соответствует отдельная боковая грань. В призме каждой вершине основания соответствует боковое ребро, соединяющее её с вершиной второго основания; таких рёбер тоже n. В пирамиде из общей вершины выходит по одному боковому ребру к каждой из n вершин основания. Значит, и у n-угольной призмы, и у n-угольной пирамиды по n боковых граней и по n боковых рёбер, хотя число оснований у этих тел разное.

Сравнение прямой призмы и пирамиды

Сначала сравните число оснований и общую форму боковых граней: эти признаки быстрее всего помогают распознать тело. Затем используйте строку о боковых рёбрах и высоте, чтобы не перепутать длины. Для подсчёта боковых граней достаточно узнать число сторон основания и взять его равным n.

Разбор задач

Задача 1

Основание прямой призмы — треугольник. Нужно определить число оснований, боковых граней и боковых рёбер, а также форму боковых граней. В треугольнике три стороны, поэтому для подсчёта боковых элементов используем n = 3. У прямой призмы основания и боковые грани устроены по-разному, поэтому их считаем отдельно.

1. У любой призмы два основания: нижнее и верхнее.
2. У треугольника три стороны, значит, призма имеет три боковые грани и три боковых ребра.
3. Так как призма прямая, все её боковые грани — прямоугольники.

Ответ: два основания, три боковые грани и три боковых ребра; боковые грани — прямоугольники. Здесь число сторон основания задаёт количество боковых элементов, а слово «прямая» определяет форму боковых граней.

Задача 2

Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см, высота равна 8 см. Требуется найти площадь боковой поверхности, то есть сумму площадей всех боковых граней, без площадей оснований. Можно вычислить площади четырёх прямоугольников по отдельности, но быстрее воспользоваться периметром основания. Этот способ подходит, потому что все боковые грани прямой призмы прямоугольные.

1. Найдём периметр основания: P = 2 · (3 + 5) = 16 см.
2. Умножим его на высоту призмы: Sбок = P · h = 16 · 8 = 128 см².
3. Проверим результат по граням: две грани имеют площади 3 · 8, ещё две — 5 · 8; сумма равна 48 + 80 = 128 см².

Ответ: 128 см². Проверка показывает, что формула складывает площади всех четырёх боковых прямоугольников и не включает основания.

Задача 3

Основание пирамиды — квадрат со стороной 6 см, боковое ребро равно 5 см, высота — 4 см. Нужно проверить, может ли основание высоты совпадать с центром квадрата. Если это так, расстояние от центра до вершины квадрата станет вторым катетом прямоугольного треугольника, где боковое ребро — гипотенуза. Проверим, согласуются ли эти длины с теоремой Пифагора.

1. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали. Диагональ квадрата со стороной 6 см равна 6√2 см, поэтому расстояние равно 3√2 см.
2. Если основание высоты находится в центре, то для бокового ребра должно выполняться l² = h² + d². Получаем l² = 4² + (3√2)² = 16 + 18 = 34, значит, l = √34 см.
3. Но по условию боковое ребро равно 5 см, а 5² = 25, не 34. Данные условия несовместимы с проекцией высоты в центр квадрата.

Ответ: нет, основание высоты не может совпадать с центром квадрата при таких данных. Проверка через прямоугольный треугольник выявляет противоречие: при высоте 4 см и расстоянии до вершины 3√2 см боковое ребро должно быть √34 см, а не 5 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать боковые грани любой призмы прямоугольниками. Так думают, потому что у знакомой прямой призмы грани действительно прямоугольные, но у наклонной призмы они являются параллелограммами. Проверьте, перпендикулярны ли боковые рёбра основаниям: если нет, прямые углы на боковых гранях не гарантированы.

Ошибка: называть боковое ребро высотой пирамиды. Ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания и обычно наклонено к его плоскости, а высота должна быть перпендикулярна этой плоскости. Для проверки отметьте, образует ли рассматриваемый отрезок прямой угол именно с плоскостью основания.

Ошибка: считать, что высота пирамиды всегда проходит внутри основания. Это предположение возникает из-за привычных симметричных изображений, однако высоту проводят к плоскости, и её основание может лежать за границами многоугольника. Проверяйте положение перпендикуляра, а не выводите его из рисунка или формы определения.

Ошибка: путать число боковых граней с общим числом граней. У n-угольной пирамиды n боковых граней и одно основание, а у призмы — n боковых граней и два основания. Чтобы проверить подсчёт, отдельно посчитайте боковые грани, а затем прибавьте основания.

Связь с другими темами

Для изучения призм и пирамид нужны знания о многоугольниках: число их сторон помогает считать боковые грани. Также необходимо различать параллельные и перпендикулярные прямые и плоскости, иначе легко спутать высоту с боковым ребром. Теорема Пифагора связывает высоту, боковое ребро и расстояние до вершины основания в пирамиде. Эти знания пригодятся при вычислении площадей поверхностей и объёмов многогранников, а также при решении стереометрических задач.

Что запомнить

• У прямой призмы два равных параллельных основания.
• Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны основаниям.
• Боковые грани прямой призмы — прямоугольники.
• У пирамиды одно основание, а боковые грани — треугольники с общей вершиной.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• У n-угольной призмы и пирамиды по n боковых граней.