§ 25. Цилиндр. Конус. Шар

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное цилиндрической боковой поверхностью и двумя равными кругами. Эти круги называют основаниями, а прямую, проходящую через их центры, — осью цилиндра. Такое определение помогает отличать само тело от его поверхности и находить его главные части на чертеже. Высотой цилиндра называют расстояние между плоскостями оснований.

Конус — тело, ограниченное конической боковой поверхностью и кругом. Круг называют основанием, а общую точку, в которой сходится боковая поверхность, — вершиной конуса. Ось конуса соединяет вершину с центром основания. Эти названия нужны, чтобы точно описывать, откуда отсчитывают высоту и какие отрезки участвуют в вычислениях.

Шар — тело, состоящее из центра и всех точек пространства, удалённых от него не более чем на заданное расстояние. Это расстояние называют радиусом шара. Радиус связывает центр со всякой точкой поверхности и задаёт размер всего тела. Такое определение включает и внутренние точки, а не только внешнюю границу.

Сфера — поверхность, состоящая из точек пространства, удалённых от центра на заданное расстояние. Это расстояние также называют радиусом сферы. В отличие от шара, сфера не содержит внутреннюю область: она служит границей шара. Различие помогает правильно понимать, что именно изображено или рассматривается в задаче.

Как это устроено

Если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон, противоположная сторона описывает круг, а две другие стороны образуют боковую поверхность. Сторона, вокруг которой происходит вращение, остаётся на месте и становится осью цилиндра. Поэтому её длина равна высоте цилиндра, а расстояние до противоположной стороны задаёт радиус основания. Два края прямоугольника, перпендикулярные оси, при вращении описывают равные круги в параллельных плоскостях — основания цилиндра.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета этот катет служит осью, а другой катет описывает круг. Поэтому осевой катет становится высотой конуса, второй катет задаёт радиус основания, а гипотенуза при вращении образует боковую поверхность и называется образующей. Высота перпендикулярна плоскости основания, тогда как образующая наклонена к ней. В осевом сечении возникает прямоугольный треугольник, поэтому для элементов конуса действует соотношение l² = h² + r².

Круг при вращении вокруг своего диаметра заполняет шар: каждая его точка проходит окружность, а вместе эти окружности заполняют внутреннюю область. Если вращать только окружность вокруг того же диаметра, внутренность не заполняется и получается сфера. Радиус вращаемого круга или окружности становится радиусом полученного тела или поверхности. Так наглядно видно, почему шар и сфера связаны, но не являются одним и тем же.

Форма сечения зависит от положения плоскости. Плоскость, параллельная основаниям цилиндра или конуса, даёт круг; у прямого цилиндра сечение плоскостью через ось — прямоугольник, а у конуса осевое сечение — треугольник. Для шара всякое сечение плоскостью, пересекающей тело, является кругом; если плоскость проходит через центр, получается наибольший круг. У цилиндра и конуса наклонная плоскость может давать сечения иной формы, поэтому нельзя определять фигуру сечения, не учитывая положение плоскости.

Основания цилиндра равны и параллельны потому, что при вращении прямоугольника его противоположные стороны описывают круги одинакового радиуса на разных уровнях. Центры этих кругов лежат на одной оси, а их плоскости перпендикулярны оси и параллельны друг другу. У шара любая точка поверхности по определению находится от центра на расстоянии, равном радиусу. Поэтому все точки боковой поверхности шара равноудалены от его центра.

Сравнение цилиндра, конуса, шара и сферы

Используйте таблицу, чтобы быстро сопоставить, какие элементы есть у каждого тела и как оно образуется. При решении задачи сначала определите тело и положение плоскости или оси вращения, затем выберите нужную строку. Помните, что сечение шара как тела — круг, а пересечение плоскости со сферой — окружность.

Разбор задач

Задача 1. Прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см вращается вокруг стороны длиной 5 см. Определите радиус основания и высоту полученного тела.

1. Вращение прямоугольника образует цилиндр. Сторона, вокруг которой он вращается, становится осью цилиндра, а её длина — высотой.
2. Значит, высота равна 5 см. Перпендикулярная ей сторона длиной 3 см отстоит от оси на 3 см и при вращении описывает окружность основания.
3. Следовательно, радиус основания равен 3 см. Проверка: радиус соответствует стороне поперёк оси, а не стороне, вокруг которой происходит вращение.

Ответ: радиус основания — 3 см, высота — 5 см.

Задача 2. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг катета длиной 8 см. Найдите радиус основания и образующую конуса.

1. Катет длиной 8 см становится осью и высотой конуса. Второй катет при вращении описывает основание, поэтому радиус равен 6 см.
2. Гипотенуза треугольника становится образующей. Она образует прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, поэтому применяем теорему Пифагора.
3. l² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, значит, l = 10 см. Полученная образующая длиннее высоты, что соответствует наклонному положению.

Ответ: радиус основания — 6 см, образующая — 10 см.

Задача 3. В шаре радиуса 13 см проведена плоскость на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус полученного сечения.

1. Сечение шара плоскостью — круг. Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость: его длина равна 5 см, а конец является центром круга сечения.
2. Радиус шара, радиус сечения и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. Радиус шара 13 см — гипотенуза, расстояние до плоскости 5 см — один катет.
3. По теореме Пифагора ρ² + 5² = 13², откуда ρ² = 169 − 25 = 144 и ρ = 12 см. Вычитание расстояний напрямую не подходит, поскольку длины связаны прямоугольным треугольником.

Ответ: радиус сечения — 12 см.

Типичные ошибки

Путают шар и сферу. Ошибка возникает потому, что в разговоре эти слова иногда используют как синонимы. Но сфера — только поверхность, а шар включает ещё и внутренние точки. Проверьте себя: если рассматриваются точки внутри границы, речь идёт о шаре.

Принимают радиус основания цилиндра за высоту. Так происходит, когда не учитывают, вокруг какой стороны вращают прямоугольник. Высота направлена вдоль оси, а радиус — поперёк неё; это разные стороны образующего прямоугольника. Проверьте соответствие: выбранная ось должна совпадать со стороной, задающей высоту.

Считают образующую конуса высотой. Образующая наклонена к основанию, а высота проходит от вершины перпендикулярно плоскости основания. Их часто путают, потому что обе начинаются в вершине. На чертеже высота образует прямой угол с основанием, а образующая соединяет вершину с точкой окружности.

Вычитают расстояние до плоскости из радиуса шара. Это неверно, потому что радиус сечения не лежит на одной прямой с расстоянием от центра до плоскости. Эти отрезки вместе с радиусом шара образуют прямоугольный треугольник. Проверьте вычисление по формуле ρ² + d² = R²: радиус сечения должен быть меньше радиуса шара, но не равен R − d.

Связь с другими темами

Для изучения темы понадобятся знания об окружности и круге, радиусе и диаметре: они помогают распознавать основания и сечения тел. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей нужны, чтобы понимать положение осей, высот и секущих плоскостей. Эти понятия пригодятся дальше при изучении площадей поверхностей и объёмов цилиндра, конуса и шара. Пространственные сечения также встречаются в задачах, где требуется установить форму фигуры и найти её размеры.

Что запомнить

• Цилиндр образуется вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
• Основания цилиндра — равные параллельные круги.
• Конус образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.
• Высота конуса перпендикулярна плоскости основания.
• Сфера — поверхность, а шар — тело, ограниченное сферой.
• Сечение шара плоскостью является кругом; его центр лежит на перпендикуляре, опущенном из центра шара на плоскость.