"Геометрия", Погорелов А.В.
Поворот — это преобразование плоскости, при котором точки перемещаются вокруг заданного центра на один и тот же угол. Он помогает описывать перемещение фигур без изменения их формы и размеров. Чтобы задать поворот, нужно указать центр, величину угла и направление. При таком движении центр остаётся на месте, а расстояния между точками сохраняются. Поэтому поворот удобен для построений и задач на равенство фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поворот плоскости — преобразование, при котором каждая точка переходит в точку, полученную поворотом вокруг заданного центра на заданный угол. Иными словами, точки как будто вращаются вокруг одной неподвижной точки. Это преобразование позволяет описывать перемещение фигуры, при котором она не растягивается и не сжимается. Чтобы понять, куда перейдёт точка, нужно знать центр и правила поворота.
Центр поворота — неподвижная точка, относительно которой поворачиваются остальные точки плоскости. Обычно центр обозначают заглавной буквой, например O. Он задаёт место, вокруг которого происходит движение, и остаётся на прежнем месте. Без указания центра нельзя однозначно построить образ точки.
Угол поворота задаёт величину поворота и его направление. Величина показывает, насколько далеко нужно повернуть точку, а направление определяет, с какой стороны от исходного луча окажется её образ. Направление отсчёта нужно указать отдельно или считать заранее установленным. Эти данные помогают различить два возможных положения точки для одного и того же угла.
Образ точки при повороте — точка, в которую переходит исходная точка; расстояние образа до центра равно расстоянию исходной точки до центра. Например, если A переходит в A₁ при повороте вокруг O, то OA = OA₁. Поэтому образ можно искать на окружности с центром O и радиусом OA. Равенство расстояний служит главным условием построения.
Чтобы построить образ точки A при повороте вокруг O, сначала проведи окружность с центром O и радиусом OA. Образ должен лежать на этой окружности, потому что расстояние до центра при повороте не меняется. Затем проведи луч OA и отложи от него заданный угол в нужном направлении. Точка пересечения нового луча с окружностью и будет образом A₁. Такое построение одновременно учитывает и расстояние, и направление поворота.
Почему расстояние от точки до центра сохраняется? Во время поворота точка движется вокруг центра, словно конец стрелки, закреплённой в одной точке. Её путь — окружность, а расстояние от центра окружности до любой её точки равно радиусу. Поэтому при переходе A в A₁ получается OA = OA₁. Если бы это расстояние изменилось, точка двигалась бы не по окружности и это уже не было бы поворотом вокруг O.
Поворот действует не только на отдельную точку, но и на целую фигуру. Каждую точку фигуры поворачивают на один и тот же угол вокруг одного и того же центра. Для многоугольника достаточно построить образы его вершин, а затем соединить их в прежнем порядке. Так получается образ всей фигуры, а не только набор отдельных точек. Единые центр и угол нужны, чтобы все части фигуры переместились согласованно.
Поворот сохраняет расстояния между точками, потому что переносит фигуру целиком, не меняя её размеров и формы. Можно представить фигуру вырезанной из бумаги: её поворачивают, но не растягивают и не сгибают. Поэтому если A и B перешли в A₁ и B₁, то AB = A₁B₁. Сохранение всех таких расстояний объясняет, почему соответствующие отрезки и стороны фигуры остаются равными.
Прямой и обратный повороты связаны как действие и отмена действия. Если точку повернуть вокруг O на заданный угол в одну сторону, а затем на такой же угол в другую, она вернётся туда, откуда начала. Угол должен быть одинаковым по величине, а центр — тем же самым. Если изменить хотя бы одно из этих условий, обратный поворот может не вернуть фигуру в исходное положение.
| Что рассматриваем | Что происходит при повороте |
|---|---|
| Центр поворота | Остаётся на месте |
| Расстояние от точки до центра | Не меняется |
| Расстояние между двумя точками | Не меняется |
| Форма и размеры фигуры | Сохраняются |
| Поворот в противоположном направлении на тот же угол | Отменяет исходный поворот |
Пользуйся таблицей, когда нужно определить, какие свойства фигуры изменятся, а какие останутся прежними. Например, для вычисления длины образа отрезка достаточно найти его исходную длину: поворот её не меняет. Для построения точки понадобятся также центр, радиус и направление угла.
Задача 1. Даны центр O, точка A и угол поворота. Требуется построить образ точки A. Числовое значение угла может быть любым, поэтому построение выполняется по заданному на чертеже или в условии направлению. Главная идея — сохранить расстояние OA и одновременно соблюсти угол поворота.
Ответ: построенная точка A₁ — образ точки A. Проверь результат: OA₁ должно равняться OA, а угол между лучами OA и OA₁ должен иметь заданную величину и направление. Если выполнено только первое условие, точка может оказаться не в том месте. Если выполнено только второе, она может лежать на неверном расстоянии от O.
Задача 2. Нужно повернуть треугольник ABC вокруг точки O на заданный угол и построить его образ. Не требуется поворачивать каждую точку треугольника по отдельности: достаточно построить образы вершин. После этого стороны нового треугольника соединят их в том же порядке, что и в исходной фигуре.
Ответ: образ треугольника — треугольник A₁B₁C₁. Одинаковые правила для всех вершин нужны, чтобы стороны и углы не изменились. В конце проверь, что каждой исходной вершине соответствует построенная точка и вершины соединены в том же порядке.
Задача 3. Точки A и B при повороте с центром O перешли в точки A₁ и B₁. Известно, что AB = 7 см; требуется найти A₁B₁. Здесь не нужно строить новые точки или измерять их на чертеже. Достаточно определить, какое свойство поворота связывает исходный и полученный отрезки.
Ответ: A₁B₁ = 7 см. Длина не зависит от того, где именно расположены точки после поворота. Если при решении длина образа получилась иной, значит, свойство поворота применено неверно или допущена ошибка в вычислении.
Ошибка — считать, что сохраняются только расстояния от точек до центра. Это заблуждение возникает потому, что при построении образа сначала проверяют радиус окружности. Но поворот сохраняет также расстояние между любыми двумя точками, поэтому длина каждого отрезка остаётся прежней. Для проверки сравни исходный отрезок с отрезком, соединяющим образы его концов.
Иногда угол откладывают не от того луча. Угол поворота точки A нужно отсчитывать от луча, идущего из центра O к исходной точке A, а не от произвольного направления. Ошибку легко допустить, если начать построение с луча, который не связан с исходной точкой. Проверь, что одна сторона угла совпадает с OA, а другая указывает на предполагаемый образ.
Неучёт направления приводит к тому, что образ строят по другую сторону от исходного луча. Так происходит, когда помнят величину угла, но не замечают, в какую сторону его нужно отложить. Один и тот же угол по величине может дать два разных положения точки. Перед построением отметь направление поворота и проверь, с какой стороны от OA оказался луч OA₁.
Ещё одна ошибка — изменить расстояние от точки до центра и поставить образ не на нужную окружность. Её допускают, если строят положение точки на глаз или измеряют отрезок неточно. Однако при повороте OA и OA₁ должны быть равны. Проведи окружность радиуса OA и убедись, что образ лежит на ней; если нет, построй точку заново.
Для изучения поворота нужно уметь строить и измерять углы, проводить окружности с заданным центром и радиусом, сравнивать расстояния. Также пригодится навык работы с фигурами и их вершинами: образ многоугольника строят через образы его вершин. Эти умения позволяют выполнять построение точно, а не на глаз. Они связывают тему поворота с уже знакомыми геометрическими инструментами.
Поворот относится к движениям плоскости — преобразованиям, при которых сохраняются расстояния. Он пригодится при изучении симметрий и решении задач на равенство фигур. Например, если одна фигура получается из другой поворотом, их соответствующие стороны и размеры совпадают. Поэтому свойства поворота помогают распознавать равные фигуры и обосновывать ответы.
Какие данные задают поворот?
Поворот задают центром и углом. Для угла также нужно знать направление отсчёта, иначе возможны два разных положения точки.
Как построить образ точки при повороте?
Проведи окружность с центром в центре поворота и радиусом до исходной точки. От луча к этой точке отложи заданный угол в нужном направлении; пересечение луча с окружностью будет образом.
Почему при повороте не меняется расстояние до центра?
При повороте точка движется по окружности с центром в центре поворота. Радиус этой окружности постоянен, поэтому расстояние от точки до центра не меняется.
Сохраняются ли при повороте длины отрезков?
Да. Поворот сохраняет расстояние между любыми двумя точками, значит, длина отрезка не меняется. Фигура после поворота имеет те же размеры и форму.
Как выполнить поворот, обратный заданному?
Нужно повернуть фигуру вокруг того же центра на такой же угол, но в противоположном направлении. Тогда каждая точка вернётся в исходное положение.
86. Поворот
