117. Поворот

Определения и обозначения

Поворот — преобразование плоскости, при котором каждой точке A соответствует точка A′: расстояние до центра O сохраняется, а луч OA поворачивается на заданный угол. Иначе говоря, точки перемещаются вокруг выбранного места, не приближаясь к нему и не удаляясь от него. Это преобразование позволяет менять положение фигуры на плоскости, сохраняя её форму и размеры.

Центр поворота — точка O, которая остаётся на месте при повороте. Расстояние от неё до любой точки совпадает с расстоянием до образа этой точки: OA = OA′. Поэтому центр нужен как опорная точка, относительно которой строят поворот. Он не перемещается вместе с остальными точками.

Угол поворота — угол, на который перемещается луч, проведённый из центра через точку. Его откладывают с вершиной в O, между исходным лучом и лучом, на котором будет находиться образ. Нужно также указать направление: по часовой стрелке или против неё. Эти сведения помогают выбрать единственный нужный образ.

Образ точки — точка A′, в которую переходит точка A при повороте. Её строят на новом луче, сохраняя расстояние до центра: OA′ = OA. Одного расстояния недостаточно, потому что на окружности с центром O много точек; заданный угол вместе с направлением указывает нужное положение. Обозначение A′ читают «А штрих».

Как это устроено

Поворот задают центром, величиной угла и направлением. Центр показывает, вокруг какой точки происходит движение, угол — насколько перемещается луч, а направление определяет, в какую сторону он поворачивается. Если забыть указать направление, можно построить два разных луча, отложив один и тот же угол по часовой стрелке или против неё. Поэтому для однозначного результата необходимы все три условия.

Чтобы построить образ точки A, сначала проводят луч OA: он задаёт исходное положение точки относительно центра. Затем от этого луча с вершиной в O откладывают заданный угол в нужном направлении и проводят новый луч. На нём отмечают A′ так, чтобы OA′ = OA. Равенство расстояний нужно потому, что при повороте точка меняет направление относительно центра, но не удаляется от него и не приближается к нему.

Сам центр поворота остаётся неподвижным. Если повернуть точку O вокруг неё же, расстояние от O до её образа должно быть равно OO, то есть нулю; единственная такая точка — сама O. Поэтому образ центра совпадает с центром. Это удобно учитывать при построении: луч через центр и неподвижный центр не следует перемещать.

Поворот сохраняет расстояния между точками, а не только расстояния от центра. Если точки A и B переходят в A′ и B′, то A′B′ = AB: перемещение не растягивает и не сжимает отрезок между ними. Поскольку сохраняются длины сторон, сохраняются и величины углов. Благодаря этому любой отрезок переходит в равный ему отрезок, а угол — в угол той же величины.

При повороте фигуры строят образ каждой её точки. Для многоугольника достаточно по отдельности повернуть вершины, сохранив расстояние каждой от центра и соблюдая одно направление, а затем соединить соответствующие образы. Так получается фигура, равная исходной: у неё те же размеры и форма, но другое положение на плоскости. Преобразуется не одна выбранная вершина, а вся фигура целиком.

Что происходит с точками и фигурами при повороте

В таблице собраны основные свойства поворота. Сравнивай каждую исходную точку, линию или фигуру с её образом. Это помогает понять, какие величины можно сразу перенести в задачу, а какие нужно строить.

Если в условии дана длина или величина угла до поворота, ищи соответствующий образ: при повороте эта величина не меняется. Для построения точки отдельно проверь расстояние от центра и угол с нужным направлением.

Разбор задач

Задача 1. Точка A находится на расстоянии 3 см от центра O. Постройте её образ при повороте на 90° по часовой стрелке. Сначала отметьте, что расстояние до центра должно остаться равным 3 см. Затем задайте новое направление луча: от исходного луча OA требуется повернуть на 90° по часовой стрелке.

1. Проведите луч OA и отметьте на нём точку A, для которой OA = 3 см.
2. С вершиной в O постройте луч, который образует с OA угол 90° по часовой стрелке.
3. На новом луче отложите от O отрезок длиной 3 см и обозначьте его конец A′.

Ответ: A′ лежит на построенном луче, причём OA′ = 3 см. Проверка состоит из двух частей: угол отложен в нужную сторону, а расстояние до O осталось прежним.

Задача 2. Треугольник ABC поворачивают вокруг точки O на 60°. Постройте образ треугольника. Вершины могут находиться на разных расстояниях от O, поэтому нельзя переносить их на одинаковое расстояние. Для каждой вершины нужно сохранить именно её собственное расстояние до центра и повернуть исходный луч на 60° в одном и том же направлении.

1. Проведите лучи OA, OB и OC, а затем для каждого луча постройте новый, отложив угол 60° в заданном направлении.
2. На новых лучах отметьте A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедините A′, B′ и C′ по порядку, как были соединены вершины исходного треугольника.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ треугольника ABC. Чтобы проверить построение, убедитесь, что все три угла отложены в одну сторону и каждое расстояние от O сохранено.

Задача 3. При повороте вокруг O точка A перешла в A′, а точка B — в B′. Известно, что AB = 5 см и ∠AOB = 40°. Найдите A′B′ и ∠A′OB′. Здесь не требуется строить чертёж: можно применить свойства поворота, поскольку оба отрезка и оба угла образованы соответствующими точками до преобразования и после него.

1. Поворот сохраняет расстояние между точками, поэтому длина образа AB равна длине исходного отрезка: A′B′ = AB.
2. Подставьте данную длину: A′B′ = 5 см.
3. Луч OA переходит в OA′, а OB — в OB′; угол между этими лучами сохраняет величину, значит ∠A′OB′ = ∠AOB = 40°.

Ответ: A′B′ = 5 см, ∠A′OB′ = 40°. Оба результата получены из сохранения расстояний и величины угла при повороте.

Типичные ошибки

Не указывают направление. Тогда непонятно, в какую сторону отложить угол, и можно получить другое положение образа. Часто ученик считает, что одной величины, например 60°, достаточно. Проверь себя: в условии названа сторона поворота — по часовой стрелке или против неё?

Откладывают угол не от луча OA. Угол поворота задаёт изменение положения именно луча из центра через исходную точку. Ошибка возникает, когда вершину угла помещают не в O или отсчитывают его от другого направления. Проверь, что вершина построенного угла — O, а его стороны включают исходный и новый лучи.

Отмечают A′ на произвольном расстоянии от O. Даже если угол построен правильно, точка не будет образом A, если OA′ не равно OA. Так случается, когда при построении забывают о сохранении расстояния до центра. Проверь линейкой: длины OA и OA′ должны совпадать.

Поворачивают только одну точку или перемещают центр. При преобразовании фигуры образ строят для каждой её точки, а центр остаётся неподвижным. Ошибку допускают, когда считают, что достаточно повернуть одну вершину, или включают O в общее перемещение. Проверь построение: центр должен совпасть со своим образом, а все вершины фигуры должны получить соответствующие образы.

Связь с другими темами

Для построения поворота нужно уметь строить углы и откладывать равные отрезки. Поэтому пригодятся знания о луче, вершине угла и измерении расстояний. Поворот связан с равными фигурами: он сохраняет длины и величины углов, а значит, не меняет форму и размеры фигуры.

Повороты относятся к преобразованиям плоскости — способам переводить точки и фигуры в новые положения по заданному правилу. Это пригодится при изучении симметрии, построении фигур и распознавании равных фигур. Умение прослеживать, куда переходят точки, помогает сравнивать исходную фигуру с её образом.

Что запомнить

• Поворот задают центром, углом и направлением.
• Центр поворота остаётся на месте.
• Расстояние от центра до точки при повороте не меняется.
• Расстояния между точками и величины углов сохраняются.
• Чтобы построить образ точки, нужно отложить заданный угол и сохранить расстояние до центра.
• Образ фигуры при повороте равен исходной фигуре.