§ 1. Многогранники

Определения и обозначения

Многогранная поверхность — поверхность, составленная из плоских многоугольников, соединённых сторонами. Каждая сторона, по которой соприкасаются соседние многоугольники, принадлежит обоим из них. Это определение помогает понять, как плоские фигуры могут вместе образовать границу пространственного тела.

Многогранник — тело, ограниченное многогранной поверхностью. В него входит не только сама поверхность, но и область внутри неё. Поэтому, говоря о многограннике, имеют в виду объёмное тело, а не только его оболочку.

Грани многогранника — многоугольники, составляющие его поверхность; рёбра — общие стороны соседних граней; вершины — общие концы рёбер. Эти названия позволяют точно описывать устройство тела и считать его элементы. Например, сторона квадрата на поверхности может быть ребром, а её концы — вершинами многогранника.

Выпуклый многогранник — многогранник, целиком расположенный по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Плоскость грани разделяет пространство на две части, и всё тело должно находиться в одной из них. Это определение нужно, чтобы отличать выпуклые тела от тел с выемками.

Как это устроено

Чтобы получить многогранную поверхность, многоугольники соединяют сторонами так, чтобы они образовали замкнутую оболочку. Если оболочка не замкнулась, у тела останется отверстие, и она не будет полностью ограничивать внутреннюю область. Когда поверхность замкнута, она отделяет тело от окружающего пространства. Именно такая поверхность служит границей многогранника.

Сторона, по которой соединены два многоугольника, становится ребром многогранника. Она принадлежит обеим соприкасающимся граням, поэтому нельзя считать её частью только одной из них. В конце ребра встречаются ещё другие рёбра, а вместе с ними — несколько граней. Так возникают вершины; у обычного многогранника в каждой вершине сходятся не менее трёх граней.

Выпуклость проверяют не по тому, кажется ли тело округлым или аккуратным на рисунке, а относительно плоскости каждой грани. Представь, что плоскость грани продолжили во все стороны: у выпуклого многогранника всё тело остаётся с одной стороны от неё. Если хотя бы одна такая плоскость проходит через тело так, что его части оказываются по разные стороны, многогранник невыпуклый. Выемка может быть небольшою и плохо заметной на чертеже, поэтому проверяют все грани.

У куба грани — шесть квадратов; у каждой грани четыре стороны, но стороны соседних квадратов совпадают и являются одними и теми же рёбрами. У пирамиды есть основание и боковые треугольные грани, которые сходятся в общей вершине. У невыпуклого тела тоже можно найти многоугольные грани, общие рёбра и вершины, однако его поверхность имеет выемку. Считая элементы, сначала перечисляют их по одному, чтобы не принять общую сторону или общий конец за несколько разных элементов.

Многогранник изображают на плоскости, поэтому линии, соответствующие ближним и дальним частям тела, могут выглядеть по-разному. Видимые рёбра проводят сплошными линиями, а скрытые за гранями обычно показывают пунктиром. Пунктир не означает, что ребро отсутствует: он указывает, что ребро есть, но наблюдатель его не видит. Благодаря этому чертёж передаёт устройство всего тела, а не только обращённой к нам части.

Элементы и признаки многогранников

Сначала определите, что именно изображено: тело, его плоская грань, ребро или вершина. Затем проверьте, какие линии общие для двух граней, и не учитывайте их повторно. Для выпуклости нужен отдельный тест с плоскостями граней.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке дан куб. Назовите его грани, рёбра и вершины.

Обозначим нижнюю грань куба ABCD, а соответствующие ей вершины верхней грани — A₁, B₁, C₁, D₁. Сначала разберёмся с многоугольниками на поверхности, затем выделим их общие стороны и концы. Такой порядок не даёт пропустить задние элементы или посчитать их дважды.

1. Перечисляем грани: ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁. Всего получаем шесть квадратов.
2. Называем рёбра нижнего и верхнего оснований, а затем боковые: AB, BC, CD, DA; A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁; AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Каждое ребро записано один раз.
3. Перечисляем концы рёбер: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁. Это восемь вершин куба.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; их названия приведены выше.

Задача 2. У многогранника две треугольные грани имеют общую сторону, а остальные грани — три боковых четырёхугольника, соединяющих их стороны. Найдите число граней, рёбер и вершин.

Описание задаёт треугольную призму: у неё два треугольных основания и три боковые грани. Чтобы не ошибиться в числе рёбер и вершин, удобно рассмотреть каждую группу элементов отдельно. Общие стороны оснований с боковыми гранями не должны учитываться повторно.

1. Считаем грани по описанию: два треугольника и три четырёхугольника. Получаем 2 + 3 = 5 граней.
2. У каждого треугольника по три стороны, всего у оснований шесть рёбер. Ещё три ребра соединяют соответствующие вершины треугольников, значит, всего 6 + 3 = 9 рёбер.
3. В каждом треугольном основании три вершины, а основания не имеют общих вершин. Поэтому всего 3 + 3 = 6 вершин.

Ответ: 5 граней, 9 рёбер и 6 вершин.

Задача 3. По изображению тела решите, является ли оно выпуклым, и обоснуйте ответ.

Предположим, что на изображении показано тело с выемкой. Сам по себе рисунок помогает заметить выемку, но ответ нужно обосновать определением. Для этого проверяют положение тела относительно плоскости грани, обращённой внутрь выемки.

1. Выбираем грань, расположенную в углублении, и мысленно продолжаем её плоскость.
2. Проверяем, по одну ли сторону этой плоскости находится всё тело. Из-за выемки часть тела оказывается по одну сторону, а другая часть — по другую.
3. Значит, условие выпуклости нарушено хотя бы для одной грани. Дополнительная проверка остальных граней уже не нужна, чтобы сделать вывод.

Ответ: многогранник невыпуклый, поскольку относительно плоскости одной из его граней тело расположено по разные стороны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать гранями только части, видимые на чертеже. Задние грани могут быть закрыты передними, поэтому на рисунке их не всегда видно. Их всё равно учитывают: поверхность многогранника включает все грани. Для проверки мысленно проследите контур тела и найдите также скрытые части.

Ошибка: считать ребро отдельным от граней. Так думают, если воспринимают линии рисунка как самостоятельные детали. На самом деле ребро — общая сторона двух граней. Проверьте себя: у каждого ребра должны быть две прилегающие грани.

Ошибка: называть вершиной любое пересечение линий на рисунке. Некоторые линии могут пересекаться только из-за изображения на плоскости, но в пространстве соответствующие рёбра не встречаются. Вершина — общий конец рёбер самого тела. Уточните, действительно ли рёбра сходятся в одной точке многогранника.

Ошибка: определять выпуклость только по внешнему виду. Небольшая выемка может быть плохо заметна, а рисунок не всегда точно передаёт форму тела. Проверьте положение всего многогранника относительно плоскости каждой грани. Если хотя бы для одной грани тело не лежит по одну сторону, оно невыпуклое.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужно знать многоугольники: уметь распознавать их стороны и вершины. Также пригодятся представления о плоскости и пространстве, потому что грани лежат в плоскостях, а само тело объёмно. Эти знания помогают читать чертежи и описывать расположение частей фигуры.

Грани, рёбра и вершины станут основой для изучения призм и пирамид. Сначала важно научиться уверенно находить элементы тела, а затем эти сведения помогут разбираться в его свойствах. Они понадобятся и при вычислении площадей поверхностей и объёмов.

Что запомнить

• Многогранник ограничен многогранной поверхностью.
• Грани многогранника — многоугольники.
• Общие стороны граней образуют рёбра.
• Концы рёбер являются вершинами.
• У выпуклого многогранника всё тело лежит по одну сторону от плоскости каждой грани.
• На чертеже невидимые рёбра обычно изображают пунктиром.