2. Многогранники

Определения и обозначения

Многогранная поверхность — замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, которые соединены общими сторонами. Эти многоугольники называют гранями поверхности, а их общие стороны — рёбрами. Определение помогает понять, из каких частей складывается оболочка пространственного тела.

Многогранник — тело, ограниченное многогранной поверхностью. Грани — многоугольники на его поверхности, рёбра — стороны этих многоугольников, а вершины — концы рёбер. Различать тело и его элементы нужно, чтобы точно описывать фигуру и не путать поверхность с тем, что она ограничивает.

Выпуклый многогранник — такой многогранник, что отрезок между любыми двумя его точками целиком принадлежит телу. Например, куб выпуклый, а фигура с выемкой — нет. Это условие упрощает рассуждения о внутренней части тела и подсчёт его элементов.

Призма имеет два равных параллельных основания, а боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований. Пирамида имеет одно основание и вершину вне его плоскости; боковые грани соединяют стороны основания с этой вершиной. Эти определения позволяют различать два основных вида многогранников по их устройству.

Как это устроено

Если многоугольники соединять по сторонам так, чтобы они образовали замкнутую оболочку, получится многогранная поверхность. Замкнутость означает, что у неё нет края, через который можно выйти наружу, не пересекая грань. Оболочка разделяет пространство на внутреннюю и внешнюю части, поэтому вместе с внутренней частью задаёт многогранник как тело.

Каждая грань многогранника остаётся многоугольником, потому что её граница состоит из прямых отрезков, соединённых в замкнутую ломаную. Ребро не может быть стороной только одной грани: на замкнутой поверхности по обе стороны от него прилегают две грани. Поэтому при подсчёте граней каждое ребро учитывается дважды, а число таких учётов нужно делить на два.

У призмы основания лежат в параллельных плоскостях, а боковые рёбра соединяют соответствующие вершины этих оснований. Такое соответствие объясняет, почему основания равны, а боковые грани соединяют именно соответствующие стороны. Если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, призма прямая; если они наклонены к основаниям — наклонная. Одного факта, что рёбра соединяют вершины, недостаточно, чтобы назвать призму прямой.

У пирамиды все боковые грани имеют общую вершину: она соединена отрезками со всеми вершинами основания. Поэтому боковая грань, соответствующая стороне основания, обязательно является треугольником. Если у основания n сторон, то к ним добавляются n треугольных граней, всего получается n + 1 грань. Вершину пирамиды не следует включать в основание: она находится вне его плоскости.

Выпуклость означает, что внутри тела нет выемок, из-за которых отрезок между точками мог бы выйти наружу и снова войти внутрь. Благодаря этому границы и внутреннюю часть можно рассматривать согласованно, а каждому ребру соответствуют две грани. У невыпуклых фигур форма поверхности может быть сложнее: выступы и углубления требуют внимательнее прослеживать, какие части действительно являются гранями и как они соединены. Поэтому формулы и проверки для выпуклых многогранников нельзя применять без проверки условия выпуклости.

Основные виды многогранников и их элементы

Чтобы определить вид тела, сначала найдите основания, затем сравните форму боковых граней и направление боковых рёбер. Формулы в таблице относятся к призме или пирамиде с n-угольным основанием, где n — число сторон основания.

Разбор задач

Задача 1. Определение вида и подсчёт элементов

Представим изображённое тело: у него две равные параллельные пятиугольные грани, а соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами. Нужно назвать многогранник и найти число граней, рёбер и вершин. Такое описание заменяет рисунок набором признаков, по которым можно проверить ответ.

1. Две равные параллельные грани являются основаниями, значит, перед нами пятиугольная призма.
2. Граней две основы и пять боковых: 2 + 5 = 7.
3. В каждом основании по пять рёбер, ещё пять рёбер соединяют основания: 5 + 5 + 5 = 15.
4. Вершины расположены по пяти на каждом основании: 5 + 5 = 10.

Ответ: пятиугольная призма; 7 граней, 15 рёбер и 10 вершин.

Задача 2. Пятиугольная призма

Основание призмы — пятиугольник. Требуется найти число её граней, рёбер и вершин, не опираясь на конкретный рисунок. Сначала полезно считать элементы, связанные с одним основанием, а затем учесть второе основание и соединяющие их рёбра.

1. У призмы два основания и по одной боковой грани на каждую сторону основания. Значит, граней: 2 + 5 = 7.
2. В двух основаниях по пять рёбер, и есть пять боковых рёбер. Всего: 5 + 5 + 5 = 15.
3. На каждом основании по пять вершин, поэтому вершин: 5 + 5 = 10.
4. Для n-угольной призмы эти подсчёты дают формулы Г = n + 2, Р = 3n, В = 2n. При n = 5 получаем 7, 15 и 10.

Ответ: 7 граней, 15 рёбер, 10 вершин.

Задача 3. Восемь треугольных граней

У многогранника 8 граней, и каждая грань — треугольник. Нужно определить возможное число рёбер и проверить, согласуется ли оно с устройством выпуклого многогранника. Подсчёт по сторонам граней даст результат, но для проверки нужно учесть, что ребро разделяют две грани.

1. У восьми треугольников всего 8 · 3 = 24 стороны, если считать сторону отдельно в каждой грани.
2. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому число рёбер равно 24 : 2 = 12.
3. Для выпуклого многогранника формула Эйлера имеет вид В − Р + Г = 2. Подставляем Р = 12 и Г = 8: В − 12 + 8 = 2, откуда В = 6.
4. Такой набор чисел возможен: например, у треугольной бипирамиды шесть вершин, двенадцать рёбер и восемь треугольных граней. Следовательно, подсчёт согласован.

Ответ: возможно 12 рёбер; проверка даёт 6 вершин и выполняет формулу Эйлера.

Типичные ошибки

Ошибка: считать боковую грань призмы основанием. Это происходит, когда ориентируются только на положение грани на рисунке, а не на определение. Основания призмы — две равные параллельные грани; остальные грани соединяют их стороны. Проверьте, можно ли выделить именно такую пару оснований.

Ошибка: путать число рёбер с числом граней. Ребро — общая сторона двух граней, поэтому в подсчёте сторон граней каждое ребро появляется дважды. Чтобы проверить ответ, посчитайте стороны всех граней и разделите сумму на два, если многогранник замкнут и каждое ребро принадлежит двум граням.

Ошибка: называть любую призму прямой. Иногда любое ребро между основаниями ошибочно принимают за перпендикулярное им. У прямой призмы боковые рёбра образуют с плоскостями оснований прямой угол, а у наклонной — нет. Проверьте угол между боковым ребром и основанием.

Ошибка: считать вершину пирамиды частью основания. Вершину могут мысленно объединить с вершинами многоугольника основания, но основание целиком лежит в одной плоскости. Вершина пирамиды находится вне этой плоскости и соединена с каждой вершиной основания. Проверка по плоскости сразу показывает, какие точки относятся к основанию.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужны знания о многоугольниках, их сторонах и вершинах, а также о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Пространственный чертёж помогает видеть, какие рёбра и грани соединены, хотя часть линий на нём может быть условно скрыта. Позже устройство многогранников понадобится при изучении сечений, площадей поверхностей и объёмов призм и пирамид. Для выпуклого многогранника подсчёт элементов проверяют формулой Эйлера: В − Р + Г = 2.

Что запомнить

• Многогранник ограничен многогранной поверхностью.
• Грани многогранника — многоугольники, их стороны являются рёбрами, а концы рёбер — вершинами.
• У призмы два равных параллельных основания.
• Боковые грани призмы соединяют соответствующие стороны оснований.
• У пирамиды одно основание, а все боковые грани имеют общую вершину.
• Прямая призма имеет боковые рёбра, перпендикулярные основаниям.
• Для выпуклого многогранника отрезок между любыми двумя его точками не выходит за пределы тела.