2.1. Изображение многоугольников и многогранников

Определения и обозначения

Изображение фигуры — это чертёж, который передаёт расположение её частей и основные геометрические связи, но не обязательно истинные размеры. Например, на рисунке прямоугольник может выглядеть наклонным, а его стороны — иметь разную длину. Такое изображение нужно, чтобы на плоском листе наглядно показать фигуру и рассуждать о её свойствах.

Параллельное проектирование — способ построения изображения, при котором через точки фигуры проводят параллельные друг другу проектирующие прямые до плоскости изображения. Эту плоскость можно представить как лист, на который «падает» фигура. Выбор такого направления помогает согласованно перенести все точки и сохранить некоторые важные связи между частями фигуры.

Параллельная проекция точки — точка пересечения проектирующей прямой, проведённой через исходную точку, с плоскостью изображения. Её часто обозначают той же буквой с индексом, например A′ — проекция точки A. Это обозначение позволяет отличать точки самой фигуры от их образов на чертеже и записывать построение без путаницы.

Изображение многогранника — совокупность изображений его вершин, рёбер и граней, расположенных на чертеже так, чтобы передать связи между ними. Грани многогранника — это многоугольные поверхности, ограничивающие его объём. Такое изображение нужно, чтобы представить пространственную фигуру и определить, какие её рёбра и грани соединены.

Как это устроено

Чтобы изобразить многоугольник, сначала проектируют все его вершины. Затем соединяют образы соседних вершин отрезками в том же порядке, в каком идут стороны исходного многоугольника. Это правило сохраняет структуру обхода: если менять порядок соединения, стороны могут пересечься и получится другая фигура.

Прямые при параллельном проектировании остаются прямыми, потому что все точки исходной прямой переносятся по одному направлению. Если две исходные прямые параллельны, проектирующие прямые для каждой из них образуют соответствующие параллельные образы. На одной прямой сохраняются и отношения длин отрезков: например, если точка делит отрезок в отношении 1:2, её образ делит изображённый отрезок в том же отношении. Поэтому чертёж позволяет проверять такие связи, даже когда сами размеры изменились.

Длина отдельного отрезка обычно не сохраняется, поскольку его направление может составлять с плоскостью изображения разный угол. При переносе один отрезок может укоротиться сильнее другого. Величина угла также может измениться: направления двух сторон изображения меняются относительно исходных. Поэтому прямой угол на чертеже не обязан выглядеть прямым, а измерять линейкой изображённые рёбра для нахождения настоящих длин нельзя.

Многогранник строят, отмечая проекции вершин и соединяя те пары точек, которые были концами одного ребра. Грань ограничена несколькими рёбрами, поэтому после их изображения она также выглядит как многоугольник. При построении важно учитывать, какие грани и рёбра соприкасаются: иначе чертёж может показать не ту пространственную фигуру. Параллельность соответствующих рёбер, если она есть в исходном многограннике, помогает сделать изображение согласованным.

На плоском рисунке часть рёбер может закрываться гранями, расположенными ближе к наблюдателю. Видимые рёбра проводят сплошной линией, а скрытые — штриховой, чтобы не создавать впечатления, будто все части фигуры находятся на одной поверхности. Это условное обозначение не меняет саму фигуру, а помогает прочитать её объёмное устройство. Перед завершением чертежа полезно проверить, какие рёбра должны быть закрыты.

Что сохраняется при параллельном проектировании

Таблица помогает отделить свойства, на которые можно опираться при построении, от тех, которые нельзя считывать с чертежа напрямую. Слово «сохраняется» означает, что соответствующее свойство образа совпадает со свойством исходной фигуры. Используйте уточнения, чтобы понять, в каких случаях вывод верен.

Разбор задач

Задача 1. Построить изображение треугольника ABC, если заданы образы его вершин A′, B′ и C′. Здесь нужно получить именно треугольник, поэтому важно соединить три образа в том же порядке, что и исходные вершины. Проектировать точки заново не требуется: их образы уже известны.

1. Проверьте, что на чертеже отмечены три точки A′, B′ и C′.
2. Соедините A′ с B′, затем B′ с C′ и C′ с A′. Такой порядок соответствует сторонам AB, BC и CA.
3. Обозначьте полученные отрезки как стороны изображения треугольника.

Ответ: треугольник A′B′C′, построенный соединением образов вершин по порядку.

Задача 2. Построить изображение параллелограмма ABCD, если заданы образы трёх вершин A′, B′ и D′. Четвёртая вершина неизвестна, но её положение определяется параллельностью противоположных сторон. Поэтому вместо измерения длин достаточно построить две прямые в нужных направлениях.

1. Через B′ проведите прямую, параллельную A′D′: в параллелограмме сторона BC параллельна AD.
2. Через D′ проведите прямую, параллельную A′B′: сторона DC параллельна AB.
3. Обозначьте пересечение проведённых прямых через C′ и соедините соседние вершины контура.

Ответ: параллелограмм A′B′C′D′. Проверка: его противоположные стороны параллельны, а вершины обходятся по контуру без пересечения сторон.

Задача 3. Изобразить треугольную призму, отметить видимые и невидимые рёбра и показать изображения её оснований. У призмы два равных треугольных основания, а соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами. Эти связи подсказывают порядок построения и помогают не спутать рёбра.

1. Нарисуйте два треугольника — изображения оснований; обозначьте их вершины в соответствующем порядке.
2. Соедините попарно соответствующие вершины оснований боковыми рёбрами. Проверьте, что эти рёбра параллельны друг другу.
3. Проведите видимые рёбра сплошными линиями, а закрытые гранями — штриховыми. Основания обозначьте как два треугольника.

Ответ: изображение призмы с двумя треугольными основаниями, параллельными соответствующими рёбрами и различимыми видимыми и скрытыми рёбрами.

Типичные ошибки

Ошибка 1 — считать, что изображённый отрезок обязан иметь исходную длину. Так думают, потому что чертёж выглядит как уменьшенная или наклонённая копия фигуры. Но проектирование меняет длины, поэтому не определяйте размер ребра линейкой без дополнительных данных. Проверяйте себя: опирайтесь на заданные отношения и свойства, а не на внешний вид.

Ошибка 2 — требовать, чтобы прямой угол выглядел прямым. Ученик может стремиться сделать рисунок похожим на плоскую фигуру, где угол легко узнать. При проектировании величина угла обычно меняется, поэтому наклонный вид не означает ошибку. Проверьте, задан ли угол условием, и не делайте вывод только по чертежу.

Ошибка 3 — соединять вершины не в порядке обхода многоугольника. Это часто происходит, когда соединяют ближайшие или удобно расположенные точки, не сверяясь с названиями сторон. В результате контур может пересечься и перестать изображать нужный многоугольник. Проверьте список соседних вершин и проследите контур от одной вершины до исходной.

Ошибка 4 — проводить все рёбра многогранника сплошными линиями. Так бывает, если забыть, что часть рёбер закрыта гранями. Тогда рисунок выглядит так, будто скрытые рёбра видны сквозь поверхность. Перед оформлением определите, какие грани обращены к наблюдателю, и обозначьте закрытые ими рёбра штриховыми линиями.

Связь с другими темами

Для построения изображений полезны свойства параллельных прямых и навыки работы с многоугольниками на плоскости: нужно уметь проводить стороны в заданном порядке и строить параллельные линии. Эти знания помогают правильно переносить геометрические связи, не полагаясь на видимые длины и углы. Позже изображения многогранников будут нужны при изучении сечений, взаимного расположения прямых и плоскостей и решении стереометрических задач. Чем точнее построен чертёж, тем легче представить пространственную фигуру и проследить её элементы.

Что запомнить

• Изображение фигуры передаёт её основные геометрические связи, но не обязательно истинные размеры.
• При параллельном проектировании прямые изображаются прямыми.
• Параллельные прямые изображаются параллельными.
• Отношения длин отрезков на одной прямой сохраняются.
• Длины отрезков и величины углов обычно не сохраняются.
• Изображение многогранника строят по изображениям его вершин и рёбер.
• Невидимые рёбра многогранника обозначают штриховыми линиями.