"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Изображение пространственной фигуры — плоский чертёж, который передаёт взаимное расположение её элементов. Для его построения используют параллельное проектирование: точки фигуры переносят на плоскость по параллельным проектирующим прямым. При этом сохраняются прямолинейность, параллельность и отношения отрезков на одной прямой, но длины и углы обычно искажаются. Поэтому чертёж помогает рассуждать о фигуре, но не всегда показывает её истинные размеры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Изображение пространственной фигуры — плоский чертёж, по которому условно представляют её форму и взаимное расположение элементов. Он нужен потому, что саму фигуру трудно показать на листе в трёх измерениях. По изображению можно рассуждать о связях между точками, прямыми и плоскостями.
Параллельное проектирование — способ получения изображения, при котором через точки фигуры проводят параллельные проектирующие прямые до пересечения с плоскостью изображения. Это похоже на перенос фигуры «пучком» одинаково направленных лучей. Такой способ задаёт одно правило для всех элементов.
Проекция точки — точка пересечения проектирующей прямой, проходящей через данную точку, с плоскостью изображения. Если точка A переходит в точку A′, то A′ называют её проекцией. С проекций точек начинают построение любых более сложных фигур.
Проекция прямой — прямая, полученная как изображение исходной прямой. Для двух её точек достаточно построить проекции этих точек и соединить их. Если исходная прямая параллельна направлению проектирования, все её точки могут перейти в одну точку.
Параллельное проектирование выбирают потому, что оно переносит все точки фигуры на одну плоскость по одному и тому же направлению. Если использовать разные направления, отдельные части изображения не согласовались бы между собой. Единое направление позволяет сохранять важные отношения между элементами.
Чтобы построить изображение точки, через неё проводят проектирующую прямую и отмечают пересечение с плоскостью изображения. Для отрезка достаточно спроектировать оба конца, а затем соединить их изображения. У многоугольника проектируют все вершины и соединяют полученные точки в том же порядке, поэтому стороны не перемешиваются.
Параллельные прямые, не совпадающие с направлением проектирования, изображаются параллельными. Причина в том, что каждая исходная прямая вместе с направлением проектирования задаёт проектирующую плоскость. Для параллельных исходных прямых эти плоскости также имеют согласованное параллельное положение и пересекают плоскость изображения по параллельным линиям.
При таком проектировании сохраняются прямолинейность, параллельность и отношения отрезков, лежащих на одной прямой. Поэтому если точка делит отрезок в определённом отношении, её изображение делит изображение отрезка в том же отношении. Частный случай особенно полезен: середина отрезка переходит в середину его изображения.
Длины и углы обычно не сохраняются, потому что разные направления в пространстве могут иметь разный наклон к плоскости изображения. Отрезок, равный другому в пространстве, на чертеже может выглядеть длиннее или короче. Поэтому рисунок показывает прежде всего взаимное расположение, а точные размеры и углы нужно подтверждать рассуждением.
| Элемент или свойство | Что происходит с изображением | Что важно учитывать при построении |
|---|---|---|
| Точка | Переходит в точку | Построить проектирующую прямую через точку |
| Прямая | Переходит в прямую или, если параллельна направлению проектирования, в точку | Не изображать её проекцию прямой в особом случае |
| Отрезок | Переходит в отрезок или в точку | Соединить изображения концов |
| Параллельные прямые | Их изображения параллельны, если это не особый случай проецирования в точку | Соблюдать параллельность на чертеже |
| Отношение отрезков на одной прямой | Сохраняется | Можно находить изображение середины отрезка |
| Длины и углы | В общем случае не сохраняются | Не делать вывод о равенстве реальных длин и углов только по чертежу |
Сначала определите, какой элемент дан и не является ли он особым случаем, параллельным направлению проектирования. Затем используйте сохранённое свойство: для прямых — прямолинейность и параллельность, для отрезков на одной прямой — отношения. Внешнюю длину или величину угла на рисунке принимайте во внимание только после доказательства.
Условие. Постройте изображение треугольника ABC при заданном направлении проектирования и плоскости изображения. Нужно получить не произвольный треугольник, а именно проекцию исходного.
Ответ: изображение треугольника — треугольник A′B′C′. Если одна из его сторон параллельна направлению проектирования, соответствующая сторона может выродиться в точку.
Условие. На изображении параллелограмма ABCD постройте изображение точки пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку через O и найдём её положение без восстановления пространственной фигуры.
Ответ: точка O′ — пересечение диагоналей изображения параллелограмма. Её можно также найти как середину любой из диагоналей.
Условие. Две параллельные прямые пересекают одну и ту же пару прямых. На секущих известны несколько отрезков, а один отрезок неизвестен. Требуется найти его по изображению пространственной фигуры.
Ответ: неизвестный отрезок находят из пропорции соответствующих отрезков. Перед вычислением проверьте, что сопоставлены именно одинаково расположенные части секущих.
Считать, что длины и углы обязательно сохраняются. Ошибку допускают, принимая условный чертёж за фотографию фигуры. Проверяйте себя: любое равенство длины или угла должно следовать из условия или теоремы, а не только из вида рисунка.
Проводить изображения параллельных прямых непараллельно. Иногда ученик пытается сделать рисунок «объёмнее» и нарушает исходное свойство. Проверьте, не были ли прямые параллельны в пространстве и не является ли одна из них особым вырожденным случаем.
Определять равенство отрезков по видимой длине. Проекционные искажения меняют внешний размер элементов, поэтому одинаковые реальные отрезки могут выглядеть по-разному. Для проверки используйте середины, пропорции и свойства исходной фигуры.
Забывать о прямой, параллельной направлению проектирования. В этом случае её точки могут иметь одну и ту же проекцию, и обычная прямая на чертеже не получится. Перед построением сравните направление данной прямой с направлением проектирования.
Для этой темы нужны знания о параллельности прямых и плоскостей, построении плоских фигур и отношениях отрезков. Эти умения помогают понимать, почему проекции сохраняют одни свойства и искажают другие. Позже приёмы построения изображений пригодятся при изучении многогранников, сечений и задач на взаимное расположение прямых и плоскостей.
Зачем при изображении пространственных фигур используют параллельное проектирование?
Оно задаёт единое правило переноса всех точек пространственной фигуры на одну плоскость. Благодаря этому изображение получается согласованным: можно судить о прямых, параллельности и отношениях отрезков.
Какие свойства фигуры сохраняются на её изображении?
Сохраняются прямолинейность, параллельность и отношения отрезков, лежащих на одной прямой. Поэтому середина отрезка переходит в середину его изображения.
Почему параллельные отрезки на чертеже должны оставаться параллельными?
При параллельном проектировании проектирующие плоскости параллельных прямых задают параллельные линии на плоскости изображения. Поэтому нарушение параллельности обычно означает ошибку построения.
Можно ли по изображению определить, что два отрезка равны?
В общем случае нельзя: длины при проектировании могут изменяться по-разному. Равенство можно обосновать только свойствами исходной фигуры или сохранёнными отношениями, а не одним внешним видом чертежа.
Что происходит с прямой, параллельной направлению проектирования?
Все её точки проектируются по прямым, которые могут попасть в одну точку плоскости изображения. Поэтому такая прямая изображается точкой, а не обычной прямой.
2.2. Построения на изображениях
