"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Выпуклый многогранник — пространственное тело, поверхность которого составлена из многоугольников и у которого отрезок между любыми двумя точками целиком остаётся внутри тела. Его описывают через грани, рёбра и вершины: эти элементы связаны между собой, поэтому число одних можно находить через число других. Главный инструмент для такого подсчёта — формула Эйлера V − E + F = 2, справедливая для выпуклых многогранников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Выпуклый многогранник — тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников и содержащее вместе с любыми двумя своими точками весь отрезок между ними. Например, если соединить отрезком две точки внутри такого тела или на его границе, отрезок не выйдет наружу. Это условие позволяет отличить выпуклую форму от тела с углублением.
Грань — многоугольник, ограничивающий многогранник. Грани вместе составляют его поверхность, но поверхность не следует путать с отдельной гранью: одна грань — только одна плоская часть этой поверхности. Понятие грани нужно, чтобы описывать, из каких многоугольников сложено тело.
Ребро — общая сторона двух соседних граней. Стороны многоугольников на поверхности становятся рёбрами многогранника, причём одно и то же ребро одновременно служит границей для двух граней. Это определение помогает правильно считать рёбра и не учитывать одну общую сторону дважды.
Вершина — точка, в которой сходятся рёбра многогранника. Концы рёбер образуют вершины, а вокруг каждой вершины встречаются несколько граней. Для подсчёта элементов используют обозначения V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней.
Выпуклость задаётся не внешним видом тела, а правилом про отрезки: для любых двух его точек весь соединяющий их отрезок должен принадлежать телу. Поэтому одного признака «поверхность состоит из многоугольников» недостаточно: такое тело может иметь выемку. Если отрезок пересекает пустое пространство снаружи тела, условие выпуклости нарушено.
Поверхность многогранника образуют многоугольные грани, которые соединяются сторонами. Сторона не остаётся отдельной границей только одного многоугольника: в замкнутой поверхности к ней примыкает соседняя грань. Именно поэтому стороны граней становятся рёбрами тела, а границы соседних граней совпадают на этом участке.
Каждое ребро принадлежит двум граням, поскольку оно разделяет две соседние части поверхности. В вершине встречаются концы нескольких рёбер, и вокруг неё располагаются несколько граней. Такое устройство связывает элементы: изменение формы или числа граней отражается на том, как соединены рёбра и вершины.
Число вершин обозначают V, рёбер — E, граней — F. Для выпуклого многогранника теорема Эйлера устанавливает равенство V − E + F = 2. Это не формула для длины, площади или объёма: она связывает только количества трёх видов элементов и позволяет проверять их согласованность.
Чтобы найти неизвестное число, подставляют в формулу два известных значения и выражают третье. Например, при V = 8 и E = 12 получаем 8 − 12 + F = 2, откуда F = 6. Однако арифметического совпадения недостаточно: найденное число должно соответствовать возможному строению тела, поэтому полезно проверить связи между гранями, рёбрами и вершинами.
| Элемент или связь | Что обозначает | Обозначение или соотношение |
|---|---|---|
| Вершины | Точки, в которых сходятся рёбра | V |
| Рёбра | Общие стороны соседних граней | E |
| Грани | Многоугольники, ограничивающие многогранник | F |
| Теорема Эйлера | Связь между числами вершин, рёбер и граней | V − E + F = 2 |
Сначала определите, какой элемент требуется найти, и выберите соответствующую строку. Затем подставьте известные числа в формулу Эйлера и выразите неизвестное. Таблица также напоминает, что E — общее число рёбер всего тела, а не число сторон одной грани.
Задача 1. Определить, является ли многогранник выпуклым, если для некоторых двух его точек отрезок между ними выходит за пределы тела. Нужно проверить определение, а не судить только по форме поверхности. Условие сразу указывает на нарушение правила для отрезков.
Ответ: многогранник невыпуклый. Достаточно одного контрпримера, чтобы опровергнуть условие, которое должно выполняться для всех пар точек. Искать другие пары в этой задаче не требуется.
Задача 2. У выпуклого многогранника 8 вершин и 12 рёбер. Найти число граней. Здесь все данные относятся ко всему телу, поэтому их можно непосредственно подставить в теорему Эйлера. Обозначим неизвестное число граней буквой F.
Ответ: 6 граней. Проверка обратной подстановкой даёт 8 − 12 + 6 = 2, как и требуется. Поскольку по условию многогранник выпуклый, формулу применить можно.
Задача 3. У выпуклого многогранника все грани — треугольники, а вершин 6. Найти число рёбер и граней. Одной формулы Эйлера недостаточно: неизвестных два, поэтому используем также подсчёт сторон треугольных граней. Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, при подсчёте сторон по всем граням оно встречается дважды.
Ответ: 12 рёбер и 8 граней. Проверяем: 6 − 12 + 8 = 2, а число сторон треугольников равно 3 · 8 = 24, то есть вдвое больше числа рёбер, 2 · 12 = 24. Обе связи выполняются.
Называть выпуклым любое тело, поверхность которого составлена из многоугольников, — ошибка: такая поверхность может иметь углубление. Её допускают, если опираются только на внешний вид или состав поверхности и забывают условие об отрезках. Проверяйте тело по определению: достаточно найти пару точек, соединяющий отрезок которых выходит наружу, чтобы установить невыпуклость.
При подсчёте рёбер иногда считают общую сторону соседних граней дважды — по одному разу для каждой грани. Причина в том, что одно ребро действительно появляется в описании обеих граней, но в общем числе рёбер оно остаётся одним объектом. Сверяйте подсчёт: каждая сторона поверхности соответствует одному ребру, а не двум.
Подменять в формуле Эйлера число рёбер числом сторон одной грани нельзя. Такое смешение возникает, когда букву E связывают с ближайшей рассматриваемой гранью, а не со всем многогранником. Перед подстановкой подпишите данные: E — общее число рёбер тела, а стороны конкретной грани считают отдельно.
Равенство V − E + F = 2 нельзя без проверки переносить на любой объект. Его используют в данном разделе для выпуклого многогранника, а не для невыпуклого тела или плоской фигуры. Проверьте, что перед вами именно пространственный выпуклый многогранник, и только затем подставляйте числа.
Для понимания темы нужны знания о многоугольниках: их сторонах и вершинах. Также важно различать плоскую фигуру и пространственное тело, поскольку грань — плоский многоугольник, а многогранник целиком занимает пространство. Эти сведения помогают увидеть, как элементы поверхности соединяются в объёмную форму.
Грани, рёбра и вершины используются при изучении призмы, пирамиды и других многогранников. Умение выделять эти элементы позволяет описывать строение конкретных тел и считать их части. Формула Эйлера пригодится для поиска недостающих элементов и проверки того, возможно ли заданное сочетание их чисел.
Как проверить, что многогранник выпуклый?
Нужно проверить условие для любых двух точек тела: соединяющий их отрезок должен целиком лежать внутри многогранника. Если найдётся хотя бы одна пара точек, для которой часть отрезка выходит наружу, тело невыпуклое.
Чем грань отличается от ребра?
Грань — многоугольник, ограничивающий многогранник, а ребро — общая сторона двух соседних граней. Грань является частью поверхности, ребро служит границей между двумя такими частями.
Может ли ребро принадлежать только одной грани?
У обычного многогранника каждое ребро является общей стороной двух соседних граней. Если сторона принадлежит только одной грани, значит, поверхность не замкнута и речь не идёт о полноценном ограничивающем многогранник теле.
Что обозначают буквы V, E и F в формуле Эйлера?
V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней всего многогранника. В формуле Эйлера эти количества связаны равенством V − E + F = 2.
Для каких многогранников справедлива теорема Эйлера?
В рассматриваемой теме теорема применяется к выпуклым многогранникам. Перед использованием формулы нужно убедиться, что тело действительно выпуклое и является пространственным многогранником.
2.3. Выпуклые многогранники
