§ 24. Выпуклые многогранники

Определения и обозначения

Выпуклый многогранник — тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников и содержащее вместе с любыми двумя своими точками весь отрезок между ними. Иными словами, у него нет вмятин. Это определение позволяет отличить выпуклые тела от более сложных невыпуклых многогранников.

Грань многогранника — многоугольник, являющийся частью его поверхности. Грань лежит в одной плоскости, поэтому её можно изучать как обычный плоский многоугольник. По граням описывают форму и вид поверхности многогранника.

Ребро многогранника — сторона грани, принадлежащая также другой грани. Оно является общей границей двух соседних многоугольников. Рёбра показывают, где именно грани соединяются друг с другом.

Вершина многогранника — общая точка нескольких его рёбер. В ней сходятся части поверхности, поэтому вершины задают основные угловые точки тела. Числа вершин, рёбер и граней обозначают буквами В, Р и Г соответственно.

Как это устроено

Выпуклость означает отсутствие вмятин и «загнутых внутрь» участков. Если выбрать любые две точки тела, соединяющий их отрезок не должен выходить за его границу. Именно поэтому многогранник можно рассматривать как цельное заполненное тело, а не только как оболочку из отдельных многоугольников. У невыпуклого тела найдутся две внутренние точки, для которых часть соединяющего отрезка окажется снаружи.

Грани соединяются не произвольным образом, а по своим сторонам, которые становятся рёбрами многогранника. Каждое ребро принадлежит двум граням, потому что одна грань подходит к нему с одной стороны, а соседняя — с другой. В результате грани образуют замкнутую поверхность: у неё нет открытых краёв, через которые тело можно было бы покинуть.

Каждая грань выпуклого многогранника является плоским многоугольником, поскольку все её точки лежат в одной плоскости, а граница состоит из отрезков. Если бы граница грани была кривой или располагалась в разных плоскостях, это уже не соответствовало бы определению многогранника. Вершина принадлежит нескольким граням, потому что в ней сходятся рёбра, а каждое ребро одновременно ограничивает две грани.

Для выпуклого многогранника число вершин, рёбер и граней связано формулой Эйлера: В − Р + Г = 2. Она показывает, что эти три числа нельзя выбирать независимо: изменение одного из них ограничивается строением всего тела. Если известны два числа, третье находят переносом слагаемых. Так можно проверять подсчёты элементов призмы, пирамиды, куба и других выпуклых многогранников.

Элементы выпуклого многогранника и их свойства

Сначала по таблице определите, какой объект требуется посчитать: многоугольник, его сторона или точка соединения рёбер. Затем обозначьте количества буквами В, Р и Г. После этого подставьте значения в формулу Эйлера и проверьте, что равенство даёт 2.

Разбор задач

Задача 1

Рассмотрим куб и определим число его вершин, рёбер и граней. У куба шесть квадратных граней, поэтому грани удобно посчитать непосредственно. Затем проверим результат формулой Эйлера.

1. У куба 6 граней.
2. На каждой из четырёх вертикальных границ сходятся рёбра, всего получается 12 рёбер.
3. У куба 8 угловых точек, то есть вершин.
4. Проверка: 8 − 12 + 6 = 2.

Ответ: В = 8, Р = 12, Г = 6.

Задача 2

У выпуклого многогранника 8 вершин и 6 граней, требуется найти число рёбер. Неизвестным является Р, поэтому его выразим из формулы Эйлера. Такой порядок действий уменьшает риск перепутать знак.

1. Записываем формулу: В − Р + Г = 2.
2. Подставляем известные значения: 8 − Р + 6 = 2.
3. Получаем 14 − Р = 2, значит Р = 12.

Ответ: многогранник имеет 12 рёбер.

Задача 3

У выпуклого многогранника 12 рёбер, а в каждой вершине сходятся ровно три ребра. Нужно найти число вершин и граней. Сначала посчитаем окончания рёбер двумя способами, а затем применим формулу Эйлера.

1. Каждое из 12 рёбер имеет два конца, поэтому всего концов 2 · 12 = 24.
2. В каждой вершине сходятся 3 ребра, значит 3В = 24 и В = 8.
3. Подставляем значения в формулу: 8 − 12 + Г = 2.
4. Отсюда Г = 6.

Ответ: 8 вершин и 6 граней.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Многогранник называют выпуклым только потому, что его грани являются многоугольниками. Это недостаточно: поверхность может иметь вмятину. Проверьте отрезок между любыми двумя точками тела.

Ошибка 2. Грань путают с ребром, потому что оба элемента находятся на поверхности. Грань — целый многоугольник, а ребро — только его сторона, общая с другой гранью. Для проверки спросите себя, можно ли указать у объекта площадь и внутренние точки.

Ошибка 3. В формуле Эйлера меняют порядок букв или знаки. Запишите её перед вычислениями: В − Р + Г = 2. После подстановки проверьте результат обратным вычислением.

Ошибка 4. Каждое ребро считают принадлежащим только одной грани. У замкнутого многогранника ребро является общей стороной двух граней, поэтому при подсчёте нужно учитывать обе стороны поверхности.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия многоугольника, отрезка и плоскости, а также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве. Без них трудно понять, почему грань плоская, а ребро является её стороной.

Распознавание элементов призмы, пирамиды, параллелепипеда и других тел помогает быстро применять формулу Эйлера. Сначала нужно увидеть вершины, рёбра и грани конкретного многогранника, а затем посчитать их.

Тема пригодится при изучении свойств многогранников и решении задач на подсчёт элементов. Формула Эйлера также служит способом проверки уже найденных значений.

Что запомнить

• Выпуклость проверяется по отрезку между любыми двумя точками тела.
• Грани выпуклого многогранника — многоугольники.
• Ребро является общей стороной двух граней.
• Вершина — точка схождения рёбер.
• Для выпуклого многогранника В − Р + Г = 2.
• Формула Эйлера помогает находить неизвестное число элементов многогранника.