§ 82. Выпуклые многогранники

Определения и обозначения

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Например, поверхность куба составлена из квадратов. Это понятие помогает описывать пространственные тела через знакомые плоские фигуры и считать части их поверхности.

Выпуклый многогранник — такой многогранник, что отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит внутри него. Условие проверяют не по виду отдельных граней, а для всего тела. Оно позволяет отличить выпуклые многогранники от тел с вмятинами.

Грани многогранника — многоугольники, из которых состоит его поверхность, а рёбра — общие стороны этих многоугольников. Например, у куба каждая грань является квадратом, а сторона, общая для двух квадратов, — одним ребром. Эти названия нужны, чтобы точно считать части поверхности.

Вершина многогранника — точка, в которой сходятся рёбра. У куба вершинами служат углы, где встречаются три ребра. Различая грани, рёбра и вершины, можно записывать и проверять соотношения между ними.

Как это устроено

Многоугольники соединяются сторонами так, чтобы вместе образовать замкнутую поверхность: у поверхности нет свободного края. Общая сторона двух соседних многоугольников становится ребром, а их угловые точки соединяются в вершинах. Замкнутость важна: без неё перед нами была бы лишь часть поверхности, а не поверхность тела. Например, если убрать одну грань куба, получится открытая оболочка.

Выпуклость проверяют с помощью отрезка между двумя точками тела. У куба отрезок между любыми выбранными точками не выходит за его границы, поэтому куб выпуклый. У тела с глубокой вмятиной можно выбрать точки по разные стороны от неё: соединяющий их отрезок частично пройдёт снаружи, и такое тело невыпуклое. Поэтому одного только наличия замкнутой поверхности недостаточно, чтобы назвать многогранник выпуклым.

Чтобы подсчитать элементы, каждую вершину считают один раз, каждое ребро — один раз, а каждую грань — один раз. Ребро является общей стороной двух граней, поэтому при подсчёте сторон всех граней оно встретится дважды. Это наблюдение помогает проверять подсчёт: если сложить числа сторон всех граней, результат должен быть вдвое больше числа рёбер.

Для выпуклого многогранника выполняется формула Эйлера: V − E + F = 2. Здесь V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. Связь не зависит от того, треугольные у тела грани или четырёхугольные: она относится к выпуклому многограннику в целом. Благодаря ей можно найти один неизвестный элемент, если два других известны.

Чтобы найти неизвестное число, подставьте известные значения в формулу и выразите нужную букву. Например, если известны V и F, то из V − E + F = 2 получаем E = V + F − 2. Если известны E и F, то V = E − F + 2, а если V и E — F = E − V + 2. После вычисления полезно подставить ответ обратно в исходное равенство.

Элементы выпуклого многогранника и их связь

Сначала определите, какие элементы нужно посчитать, а затем обозначьте их буквами V, E и F. В формулу подставляйте именно количество вершин, рёбер и граней, а не число сторон одной грани. Если находите неизвестное, проверьте результат подстановкой в равенство.

Разбор задач

Куб: подсчёт элементов и проверка формулы

Условие. Подсчитать число вершин, рёбер и граней куба и проверить формулу Эйлера. Удобно рассмотреть куб как модель: у него две квадратные грани сверху и снизу, а между ними расположены четыре боковые грани. Затем отдельно пересчитать углы и стороны-каркас.

1. У куба 8 вершин: по 4 на верхнем и нижнем основаниях.
2. У куба 12 рёбер: по 4 у каждого основания и ещё 4 боковых.
3. У куба 6 граней: 2 основания и 4 боковые грани.
4. Подставим числа: V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2.

Ответ: 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней; формула Эйлера выполняется. Рёбра не считают повторно, даже если каждое из них входит в две грани. Поэтому при подсчёте удобно следить за самим каркасом куба, а не складывать стороны всех квадратов.

Найти рёбра по числу вершин и граней

Условие. У выпуклого многогранника 8 вершин и 6 граней. Найти число рёбер. Так как многогранник выпуклый, можно применить формулу Эйлера; неизвестным является только E.

1. Запишем формулу: V − E + F = 2.
2. Подставим известные числа: 8 − E + 6 = 2.
3. Сложим известные слагаемые: 14 − E = 2, откуда E = 12.
4. Проверим: 8 − 12 + 6 = 2.

Ответ: у многогранника 12 рёбер. Проверка показывает, что найденное число согласуется с формулой Эйлера. Если при решении получается отрицательное число рёбер или равенство не сходится, нужно перепроверить подстановку и преобразования.

Треугольные грани: найти рёбра и вершины

Условие. У выпуклого многогранника 10 граней, каждая из которых является треугольником. Найти число рёбер и вершин. Сначала удобно посчитать стороны всех граней, потому что известен вид каждой грани.

1. У каждой из 10 граней по 3 стороны, всего 10 · 3 = 30 сторон граней.
2. Каждое ребро — общая сторона двух граней, поэтому 30 = 2E и E = 15.
3. Подставим E = 15 и F = 10 в формулу: V − 15 + 10 = 2.
4. Получаем V − 5 = 2, значит, V = 7.

Ответ: 15 рёбер и 7 вершин. Деление общего числа сторон граней на два необходимо, потому что каждое ребро посчитано у обеих прилегающих граней. После этого формула Эйлера даёт число вершин.

Типичные ошибки

Ошибка: называть выпуклой любую замкнутую поверхность. Замкнутость означает, что поверхность не имеет свободного края, но она может образовывать вмятину. Путают эти свойства, потому что оба относятся к форме тела. Проверяйте выпуклость по отрезку между любыми двумя точками: если какой-либо отрезок выходит наружу, тело невыпуклое.

Ошибка: считать общую сторону двух граней двумя рёбрами. Так происходит, когда считают стороны каждой грани и забывают, что соседние грани имеют одну и ту же сторону. Ребро многогранника учитывают один раз, а при подсчёте всех сторон граней оно учитывается дважды. Чтобы не запутаться, уточните, что именно считаете: рёбра тела или стороны граней с повторениями.

Ошибка: переставлять числа в формуле Эйлера. Иногда записывают не V − E + F = 2 или ошибочно меняют знак у одного из слагаемых. Причина обычно в том, что буквы воспринимают как числа без связи с их обозначениями. Перед вычислением подпишите V — вершины, E — рёбра, F — грани, а после решения проверьте равенство подстановкой.

Ошибка: применять формулу Эйлера без проверки выпуклости. Формулу используют для любого тела, хотя в рассматриваемом правиле речь идёт о выпуклых многогранниках. Это происходит, если запомнить равенство, но забыть условие его применения. Сначала проверьте, что отрезок между любыми двумя точками тела целиком остаётся внутри, и только затем используйте формулу.

Связь с другими темами

Для работы с многогранниками нужны знания о многоугольниках: надо узнавать их стороны и вершины, а также понимать, что такое отрезок. Представление о внутренней области фигуры помогает проверить, проходит ли отрезок между точками внутри тела. Поэтому пространственные свойства многогранника строятся на знакомых понятиях из геометрии на плоскости.

Подсчёт вершин, рёбер и граней пригодится при изучении призм и пирамид, а также других пространственных тел. Формула Эйлера помогает проверить результаты подсчёта и находить неизвестное число элементов. Эти навыки особенно полезны, когда тело изображено на плоском рисунке и его рёбра легко случайно посчитать повторно.

Что запомнить

• Грани многогранника — многоугольники.
• Рёбра — общие стороны соседних граней.
• Вершина — точка, где сходятся рёбра.
• Выпуклый многогранник содержит целиком отрезок между любыми двумя своими точками.
• У выпуклого многогранника V − E + F = 2.
• Каждое ребро принадлежит двум граням.