"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Многогранник — тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Его основные элементы — вершины, рёбра и грани, причём каждый элемент при подсчёте учитывают один раз. Для любого выпуклого многогранника выполняется теорема Эйлера: V − E + F = 2, где V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. Формула помогает проверить подсчёт и найти неизвестное число элементов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Эти многоугольники называют гранями многогранника, их стороны — рёбрами, а концы рёбер — вершинами. Такое описание нужно, чтобы точно различать части тела при подсчёте.
Выпуклый многогранник — многогранник, который целиком расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. У куба, призмы и обычной пирамиды это условие выполняется. Оно важно потому, что теорема Эйлера в данном виде применяется именно к выпуклым многогранникам.
Число вершин обозначают буквой V, число рёбер — E, а число граней — F. Каждый элемент считают один раз, даже если он виден сразу на нескольких гранях. Такие обозначения делают запись общей и позволяют работать с разными многогранниками по одной формуле.
Теорема Эйлера для выпуклого многогранника утверждает: V − E + F = 2. Здесь V, E и F — соответственно числа вершин, рёбер и граней. Равенство связывает три характеристики тела и помогает проверить подсчёт или найти неизвестное число.
Условие выпуклости нужно не случайно. У выпуклого многогранника грани образуют единую замкнутую поверхность без сложных внутренних изгибов, поэтому его элементы связаны простой закономерностью. Если взять невыпуклое тело с выемкой или самопересечением, обычную формулу V − E + F = 2 нельзя применять без дополнительного анализа.
Вершиной считают точку, в которой сходятся рёбра, ребром — отрезок, общий для двух соседних граней, а гранью — отдельный многоугольник поверхности. На чертеже часть рёбер может быть невидимой, поэтому полезно мысленно обойти всё тело целиком. Так не пропускают элементы, скрытые на задней стороне модели.
Подсчёт начинают с вершин, затем находят рёбра и грани. Общее ребро двух соседних граней остаётся одним и тем же отрезком, поэтому в E его записывают один раз, а не по одному разу за каждую грань. Аналогично, грань, даже если она соприкасается с несколькими другими, всё равно считается одной гранью.
После подсчёта числа подставляют в равенство V − E + F = 2. Если левая часть равна 2, подсчёт согласуется с теоремой; если нет, значит, какой-то элемент пропущен или посчитан повторно. Из того же равенства можно выразить неизвестное: E = V + F − 2, F = E − V + 2, V = E − F + 2.
Теорема связывает вершины, рёбра и грани, потому что они образуют единую структуру поверхности многогранника. Она не зависит от того, вытянуто тело или сплюснуто, наклонено оно или стоит прямо. При таких изменениях форма может выглядеть иначе, но количество элементов и значение V − E + F сохраняются.
| Многогранник | V — вершины | E — рёбра | F — грани | Проверка V − E + F = 2 |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 4 − 6 + 4 = 2 |
| Куб | 8 | 12 | 6 | 8 − 12 + 6 = 2 |
| Треугольная призма | 6 | 9 | 5 | 6 − 9 + 5 = 2 |
| Четырёхугольная пирамида | 5 | 8 | 5 | 5 − 8 + 5 = 2 |
В таблице сначала находят три числа для каждого многогранника, а затем вычисляют левую часть формулы. Если результат равен 2, данные согласуются с теоремой Эйлера. По такой же схеме можно проверять собственный подсчёт на модели или чертеже.
У куба 8 вершин и 6 граней. Требуется найти число рёбер, поэтому неизвестной величиной будет E. Куб выпуклый, значит, теорему Эйлера можно применить напрямую.
Ответ: у куба 12 рёбер.
У выпуклого многогранника 10 вершин и 15 рёбер. Нужно определить число граней F. После вычисления проверим, что результат имеет смысл: число граней должно быть целым и положительным.
Ответ: многогранник имеет 7 граней.
У выпуклого многогранника 7 граней и 12 рёбер, а ученик назвал число вершин, равное 7. Проверим утверждение не по внешнему виду, а по формуле. Для этого найдём настоящее значение V.
Ответ: утверждение верно, у многогранника 7 вершин.
Иногда общую сторону двух граней считают дважды: сначала как сторону первой грани, затем как сторону второй. Так делают потому, что ребро действительно входит в границы обеих граней. Нужно помнить: в числе E это один отрезок, поэтому после подсчёта следует проверить каждое ребро только один раз.
Другая ошибка — перепутать V, E и F при подстановке. Числа вершин, рёбер и граней могут стоять рядом на чертеже, но обозначаются разными буквами. Перед вычислением подпишите каждое известное значение: V — вершины, E — рёбра, F — грани.
Нельзя автоматически применять равенство V − E + F = 2 к любому телу. Формула предназначена для выпуклого многогранника, а у тела с выемкой или другой сложной формой условия могут нарушаться. Проверьте выпуклость до начала решения.
При преобразовании формулы иногда получают E = V + F + 2 вместо правильного E = V + F − 2. Ошибка возникает из-за неверного переноса слагаемых через знак равенства. После преобразования подставьте найденное выражение обратно в исходную формулу и убедитесь, что получается 2.
Для изучения теоремы нужны базовые навыки: узнавать вершины, рёбра и грани многогранника и пересчитывать их на модели или чертеже. Особенно полезно уметь замечать невидимые рёбра и не считать общую сторону дважды.
Тема связана с понятием выпуклости и с решением задач на геометрические тела. Теорема Эйлера позволяет находить неизвестное число элементов, когда два других уже известны, и проверять правильность рассуждений.
Что именно называют вершиной, ребром и гранью многогранника?
Грань — это многоугольник, из которого состоит поверхность многогранника. Его стороны называют рёбрами, а концы рёбер — вершинами.
Почему общее ребро двух граней считают только один раз?
Общее ребро является одной геометрической линией, хотя оно входит в границы двух соседних граней. Поэтому при подсчёте рёбер оно даёт один элемент, а не два.
Для каких многогранников верна теорема Эйлера?
В школьной геометрии равенство V − E + F = 2 применяют к выпуклым многогранникам. Перед использованием формулы нужно убедиться, что тело целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Как найти число граней, если известны число вершин и рёбер?
Из формулы V − E + F = 2 выражают F: F = E − V + 2. Затем подставляют известные значения V и E.
Как проверить, не ошиблись ли при подсчёте элементов многогранника?
Нужно отдельно пересчитать вершины, рёбра и грани, не повторяя элементы. После этого следует подставить числа в выражение V − E + F и проверить, получилось ли 2.
§ 83. Теорема Эйлера для многогранников
