"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Правильный многогранник — выпуклое тело, поверхность которого составлена из одинаковых правильных многоугольников. У каждой его вершины сходится одно и то же число граней, поэтому форма устроена равномерно. Таких тел всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их изучение помогает распознавать пространственные фигуры, считать их элементы и применять формулу Эйлера для выпуклых многогранников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — это тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, их стороны — рёбрами, а точки, где сходятся рёбра, — вершинами многогранника. Например, у куба грани квадратные, а рёбрами служат стороны этих квадратов. Эти названия нужны, чтобы точно описывать и считать части пространственного тела.
Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Примеры таких фигур — равносторонний треугольник и квадрат. Именно правильные многоугольники становятся гранями правильных многогранников. Их свойства помогают проверить, может ли данная фигура служить гранью такого тела.
Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклым называют тело без вмятин: отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри тела или на его поверхности. Одних одинаковых граней недостаточно: нужно также одинаковое устройство вершин. Это определение позволяет отличить правильное тело от похожего на него, но устроенного неравномерно.
Пять правильных многогранников называют Платоновыми телами. Это тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их названия различают конкретные виды тел, а число и форма граней помогают узнать каждый из них. Все пять отвечают строгим требованиям к граням и вершинам.
Равные правильные грани и одинаковое число граней у каждой вершины делают строение тела равномерным. Если бы одна грань отличалась размером или формой, она выделялась бы среди остальных. Если бы в одних вершинах сходилось больше граней, чем в других, вершины тоже были бы устроены по-разному. Поэтому оба условия нужны, чтобы ни одна грань или вершина не отличалась от остальных по своему устройству.
В одной вершине должно сходиться не меньше трёх граней, иначе замкнутого пространственного угла не получится. Но и трёх граней недостаточно, если их углы вокруг точки заполняют полный круг или больше. Для выпуклой вершины сумма плоских углов должна быть строго меньше 360°. Если сумма равна 360° или превышает её, грани не складываются внутрь в выпуклый угол.
У правильного треугольника угол равен 60°, поэтому у вершины могут встретиться три, четыре или пять таких граней: суммы составят соответственно 180°, 240° и 300°. Шесть треугольников дали бы 360°, и выпуклый угол не возник бы. У квадрата угол равен 90°, поэтому подходят только три квадрата: четыре уже дали бы 360°. У правильного пятиугольника угол равен 108°, и подходят только три грани, поскольку четыре дали бы 432°.
Для правильного многоугольника с шестью и более сторонами каждый угол не меньше 120°. Даже три таких угла в вершине дают сумму не меньше 360°, а значит, выпуклый угол не образуется. Поэтому грани правильного выпуклого многогранника не могут быть правильными шестиугольниками или многоугольниками с большим числом сторон. Ограничение связано именно с углами вокруг вершины.
Полученные варианты дают пять тел, и их можно распознать по форме и числу граней. Тетраэдр и икосаэдр состоят из треугольников, но у первого 4 грани, а у второго 20; октаэдр тоже треугольный, и его граней 8. Куб составлен из квадратов, а додекаэдр — из правильных пятиугольников. Число рёбер и вершин для каждого тела можно проверить подсчётом и формулой Эйлера.
| Характеристика | Тетраэдр | Куб | Октаэдр | Додекаэдр | Икосаэдр |
|---|---|---|---|---|---|
| Форма грани | Правильный треугольник | Квадрат | Правильный треугольник | Правильный пятиугольник | Правильный треугольник |
| Число граней | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
| Число рёбер | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
| Число вершин | 4 | 8 | 6 | 20 | 12 |
| Число граней, сходящихся в одной вершине | 3 | 3 | 4 | 3 | 5 |
Чтобы узнать многогранник, сначала сравните форму его граней, затем — число граней, сходящихся у вершины. Остальные числа помогут проверить результат. Например, если грани треугольные и у вершины сходятся пять граней, таблица указывает на икосаэдр.
Задача 1. У правильного многогранника грани — равные правильные треугольники, и в каждой вершине сходятся три грани. Определите многогранник и число его граней, рёбер и вершин. Нужно сопоставить сразу два признака, потому что треугольные грани есть у нескольких правильных многогранников. Число граней у вершины позволяет выбрать нужный вид.
Ответ: тетраэдр; 4 грани, 6 рёбер, 4 вершины. Сначала мы использовали форму граней, а затем уточнили выбор по устройству вершины. Такой порядок помогает не перепутать тела с одинаковой формой граней.
Задача 2. У куба сосчитайте грани, рёбра и вершины, а затем проверьте связь между этими числами. На кубе легко случайно посчитать общее ребро соседних граней дважды. Поэтому считать следует каждый элемент самого тела только один раз, а полученные числа подставить в формулу Эйлера.
Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; формула Эйлера выполняется. Деление на 2 в подсчёте рёбер убирает повторный учёт общих сторон граней. Проверка формулой показывает, согласуются ли числа между собой.
Задача 3. У правильного многогранника грани — треугольники, а в каждой вершине сходятся пять граней. Найдите число граней, рёбер и вершин. Сначала сопоставим признаки с таблицей: такое строение имеет икосаэдр. Затем проверим числа, используя тот факт, что каждое ребро принадлежит двум граням и в каждой вершине сходятся пять рёбер.
Ответ: 20 граней, 30 рёбер и 12 вершин. Рёбра подсчитаны по граням, а вершины — по числу сходящихся рёбер. Дополнительно проверяем формулу Эйлера: 12 − 30 + 20 = 2.
Ошибочно считать правильным любой многогранник с правильными гранями. Так думают, потому что внимание привлекает форма отдельных многоугольников, а устройство вершин легко упустить. Но в каждой вершине должно сходиться одинаковое число граней. Проверьте не только форму и равенство граней, но и все вершины.
Равные рёбра сами по себе ещё не делают многогранник правильным. Такое условие кажется достаточным, потому что рёбра образуют контур граней. Однако грани также должны быть правильными многоугольниками и равняться друг другу. Для проверки рассмотрите форму и углы каждой грани, а не только длины сторон.
Общее ребро двух соседних граней иногда считают дважды, поскольку оно входит в контур каждой из них. Но для самого многогранника это одно ребро, хотя оно принадлежит двум граням. Если вы считаете рёбра по сторонам всех граней, разделите полученную сумму на 2. Затем проверьте число формулой Эйлера.
Нельзя допускать, чтобы сумма плоских углов у вершины равнялась 360° или была больше. Это возможно при попытке расположить вокруг вершины слишком много граней, но они тогда не образуют выпуклый пространственный угол. Подсчитайте углы и убедитесь, что их сумма строго меньше 360°. Если условие не выполнено, такая вершина правильного выпуклого многогранника невозможна.
Для изучения правильных многогранников нужно знать, что такое грани, рёбра и вершины, а также свойства правильных многоугольников, в частности величину их углов. Подсчёт элементов помогает применять формулу Эйлера для выпуклых многогранников: В − Р + Г = 2. Позже правильные многогранники пригодятся при изучении объёмов и площадей поверхностей тел. Их можно также представлять и исследовать с помощью пространственных моделей.
Чем правильный многогранник отличается от многогранника с просто правильными гранями?
У правильного многогранника все грани не только являются правильными многоугольниками, но и равны между собой. Кроме того, в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Если одно из этих условий не выполняется, многогранник не считается правильным.
Почему в каждой вершине должно сходиться не менее трёх граней?
Две грани, соединённые по ребру, образуют только часть поверхности, а не замкнутую вершину многогранника. Чтобы вокруг вершины сформировался пространственный угол, должны встретиться хотя бы три грани. При этом сумма их плоских углов должна быть меньше 360°.
Почему правильных многогранников ровно пять?
В вершине выпуклого многогранника сумма углов граней должна быть меньше 360°. Этому условию подходят только три, четыре или пять равносторонних треугольников, три квадрата либо три правильных пятиугольника. Все эти варианты дают ровно пять видов тел.
Чем октаэдр отличается от икосаэдра?
У обоих многогранников грани — правильные треугольники. У октаэдра их 8, а в каждой вершине сходятся 4 грани; у икосаэдра 20 граней и по 5 граней у каждой вершины.
Как проверить, правильно ли посчитаны грани, рёбра и вершины?
У выпуклого многогранника проверьте формулу Эйлера: В − Р + Г = 2, где В — число вершин, Р — рёбер, Г — граней. Дополнительно помните, что каждое ребро принадлежит двум граням. Поэтому сумму сторон всех граней нужно разделить на 2, чтобы получить число рёбер.
§ 84. Правильные многогранники
