51. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Выпуклость означает, что отрезок между любыми двумя точками тела целиком лежит внутри него. Определение нужно, чтобы отличать правильные тела от многогранников, похожих на них лишь по одному признаку.

Правильные грани — равные правильные многоугольники, из которых составлена поверхность многогранника. У всех граней одинаково не только число сторон, но и длины сторон и углы. Это условие позволяет описывать все грани одним и тем же числом p — числом сторон многоугольника.

Вершина правильного многогранника — точка, в которой сходится одинаковое число его граней. Это число обозначают q; например, если в вершине встречаются три грани, то q = 3. Параметр q нужен для проверки, могут ли выбранные грани собраться вокруг точки и образовать выпуклое тело.

Существует пять правильных выпуклых многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. У тетраэдра, октаэдра и икосаэдра грани — равносторонние треугольники, у куба — квадраты, у додекаэдра — правильные пятиугольники. Различаются эти тела формой граней и тем, сколько граней встречается в каждой вершине.

Как это устроено

Вокруг вершины многогранника сходятся плоские углы его граней, но они не лежат в одной плоскости: иначе поверхность не смогла бы обогнуть объём. Если развернуть такие грани на плоскость, для выпуклой вершины между ними должен остаться угол, который позволяет поверхности повернуть в пространстве. Поэтому сумма углов граней строго меньше 360°; при равенстве они легли бы в плоскость, а при превышении не могли бы образовать выпуклый угол.

У правильного многоугольника с p сторонами сумма внутренних углов равна 180°(p−2), так как его можно разбить диагоналями из одной вершины на p−2 треугольника. Каждый из p углов одинаков, поэтому один угол равен 180°(p−2)/p. Если в вершине встречаются q одинаковых граней, сумма их углов равна q·180°(p−2)/p и должна быть меньше 360°. Так условие выпуклости превращается в неравенство для целых чисел p и q.

В правильном многограннике p ≥ 3 и q ≥ 3: у многоугольника не бывает менее трёх сторон, а для объёмного угла нужны как минимум три грани. Из неравенства получаем q < 2p/(p−2). При p = 3 возможны q = 3, 4 или 5; при p = 4 — только q = 3; при p = 5 — тоже только q = 3. Если p ≥ 6, правая часть не больше 3, так что целого q ≥ 3, удовлетворяющего строгому неравенству, уже нет.

Полученные пары (p, q) задают пять вариантов: (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3). Три, четыре или пять треугольников у вершины дают соответственно тетраэдр, октаэдр или икосаэдр; три квадрата дают куб, а три пятиугольника — додекаэдр. Для каждой пары существует соответствующее правильное выпуклое тело, и других сочетаний условие на углы не допускает.

Числа вершин В, рёбер Р и граней Г проверяют по формуле Эйлера В−Р+Г=2. Если у тела Г граней, каждая с p сторонами, подсчёт по граням даёт pГ, но каждое ребро при этом посчитано дважды: оно разделяет две грани, поэтому Р = pГ/2. Затем В находят из формулы Эйлера; таблица показывает результаты для пяти тел.

Пять правильных многогранников и их элементы

Чтобы найти число рёбер, умножьте число граней на число сторон каждой грани и разделите результат на два. Число вершин можно проверить по формуле Эйлера; столбец «Граней у вершины» показывает, сколько граней сходится в каждой вершине тела. Например, у куба три квадратные грани встречаются в вершине.

Разбор задач

1. Четыре треугольные грани

У правильного многогранника четыре грани, каждая из которых — равносторонний треугольник. Определите многогранник и число его вершин и рёбер.

1. Распознаём тело по форме и числу граней: многогранник с четырьмя равносторонними треугольниками — тетраэдр.
2. Считаем рёбра по граням: 4·3 = 12 подсчётов сторон, но каждое ребро входит в две грани, поэтому Р = 12/2 = 6.
3. Применяем формулу Эйлера В−Р+Г=2: В−6+4=2, откуда В=4.

Ответ: тетраэдр, 4 вершины и 6 рёбер. Проверка подтверждает, что найденные числа согласуются с формулой Эйлера.

2. Правильные пятиугольные грани

Грани многогранника — правильные пятиугольники, причём в каждой вершине сходятся три грани. Определите тело и найдите число его граней, рёбер и вершин.

1. Здесь p=5 и q=3. Такое сочетание соответствует додекаэдру, у которого 12 правильных пятиугольных граней.
2. Считаем рёбра: у 12 граней по 5 сторон, то есть 12·5=60 подсчётов; каждое ребро учтено дважды, значит, Р=60/2=30.
3. Находим вершины по формуле Эйлера: В−30+12=2, поэтому В=20.

Ответ: додекаэдр; 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин. Условие q=3 дополнительно согласуется с таблицей: в каждой вершине додекаэдра сходятся три грани.

3. Возможны ли шестиугольные грани?

Докажите, что правильного многогранника с правильными шестиугольными гранями не существует.

1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен 180°(6−2)/6 = 120°.
2. У вершины выпуклого многогранника должны сходиться хотя бы три грани. Уже три угла по 120° дают 3·120°=360°.
3. Но сумма плоских углов у вершины выпуклого многогранника должна быть строго меньше 360°. При четырёх и более гранях сумма была бы ещё больше.

Ответ: такого правильного выпуклого многогранника не существует. Условие выпуклости нарушается уже при минимально возможном числе граней у вершины.

Типичные ошибки

Считать правильным любой многогранник с равными гранями — значит забыть, что сами грани должны быть правильными многоугольниками, а число граней у каждой вершины должно быть одинаковым. Такую ошибку допускают, сосредоточившись только на внешнем сходстве граней. Проверьте оба условия определения: форму и равенство граней, а также устройство всех вершин.

Иногда считают, что достаточно выбрать одинаковые правильные грани, и не проверяют сумму углов у вершины. Но грани могут быть правильными, а собрать из них выпуклое тело всё равно нельзя: сумма должна быть меньше 360°. Перед тем как называть тело правильным, найдите угол одной грани и умножьте его на число граней у вершины.

При подсчёте рёбер можно ошибочно умножить число граней на число сторон и принять результат за ответ. Так получается двойной счёт, потому что каждое ребро — общая сторона двух граней. Разделите произведение на два и проверьте результат по формуле В−Р+Г=2.

Число сторон грани p иногда путают с числом граней у вершины q. Первое относится к одному многоугольнику, второе показывает, сколько многоугольников сходится в одной точке. Чтобы не смешивать параметры, сначала отдельно запишите p и q, а затем подставляйте их в нужную формулу или условие.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия выпуклого многогранника, грани, ребра и вершины, а также свойства правильных многоугольников и формула суммы их внутренних углов. Именно из суммы углов многоугольника получают величину угла грани и проверяют условие выпуклости у вершины. Формула Эйлера помогает контролировать подсчёт элементов правильных тел. Эти знания пригодятся при изучении пространственных тел, их симметрии и сечений.

Что запомнить

• У правильного многогранника все грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Сумма углов граней у вершины выпуклого многогранника меньше 360°.
• Существует ровно пять правильных выпуклых многогранников.
• Это тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• Для каждого выпуклого многогранника выполняется В−Р+Г=2.