"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Правильная пирамида — это пирамида с правильным многоугольником в основании и высотой, проходящей через его центр. Благодаря такой симметрии её боковые рёбра равны, а боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники. Высоту грани, проведённую к стороне основания, называют апофемой пирамиды. Эти элементы помогают находить площадь боковой поверхности и решать задачи на длины и объёмы. Главное — не путать высоту пирамиды с апофемой: они принадлежат разным сечениям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильная пирамида — пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а высота проходит через центр этого многоугольника. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Такое устройство обеспечивает симметрию пирамиды и позволяет установить свойства её боковых рёбер и граней.
Апофемой правильной пирамиды называют высоту её боковой грани, проведённую из вершины пирамиды к стороне основания. Она перпендикулярна этой стороне и лежит в боковой грани. Апофема нужна, чтобы находить площадь боковой поверхности и связывать размеры грани с высотой пирамиды.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. У правильной пирамиды основание высоты совпадает с центром правильного многоугольника. Высота показывает расстояние от вершины до основания и используется, например, при вычислении объёма.
Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из её боковых граней, то есть треугольников, соединяющих вершину пирамиды со сторонами основания. Все эти грани равны. Поэтому их общую площадь удобно находить не по отдельности, а через периметр основания и апофему пирамиды.
В правильном многоугольнике все вершины одинаково расположены относительно его центра, а фигура симметрична относительно осей, проходящих через этот центр. В правильной пирамиде вершина находится над центром основания, поэтому прямая через вершину и центр является осью симметрии. Перпендикуляр из вершины к плоскости основания лежит на этой оси. Значит, основание высоты приходится именно на центр многоугольника.
Боковые рёбра соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Поскольку вершина находится на оси правильного основания, расстояния от неё до всех вершин основания одинаковы: у каждой такой вершины одинаковое расстояние до центра, а высота пирамиды общая. Это можно увидеть из равных прямоугольных треугольников с катетами-высотой и радиусами основания. Следовательно, боковые рёбра равны.
У каждой боковой грани основанием служит сторона правильного многоугольника, поэтому основания всех этих треугольников равны. Два остальных ребра каждой грани — боковые рёбра пирамиды, и они тоже равны. По трём сторонам такие треугольники равны между собой, а каждый из них равнобедренный. Поэтому их площади одинаковы.
Рассмотрим сечение через вершину пирамиды, центр основания и середину его стороны. Апофема основания r идёт от центра к середине стороны, а апофема пирамиды l — от вершины к той же середине. Высота пирамиды h перпендикулярна основанию, поэтому образуется прямоугольный треугольник с катетами h и r и гипотенузой l. По теореме Пифагора l² = h² + r², откуда l = √(h² + r²), а при известных l и r высота h = √(l² − r²).
Площадь одной боковой грани равна половине произведения её основания на апофему пирамиды. Складывая площади всех граней, получаем половину апофемы, умноженную на сумму сторон основания. Эта сумма и есть периметр P, поэтому площадь боковой поверхности выражается формулой Sбок = ½Pl. В ней l — именно апофема пирамиды, а не апофема основания.
| Элемент или свойство | Что обозначает | Как связано с другими элементами |
|---|---|---|
| Основание | Правильный многоугольник | Его стороны равны; центр лежит на высоте пирамиды |
| Высота пирамиды | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания | В правильной пирамиде проходит через центр основания |
| Апофема основания | Расстояние от центра основания до его стороны | Вместе с высотой пирамиды образует катетный треугольник |
| Апофема пирамиды | Высота боковой грани | l² = h² + r²; используется в формуле площади боковой поверхности |
| Боковые грани и рёбра | Равные равнобедренные треугольники и равные боковые рёбра | Равенство следует из правильности основания и симметрии |
| Площадь боковой поверхности | Сумма площадей боковых граней | Sбок = ½Pl |
Начинай работу с определения того, какие отрезки известны: высота пирамиды, апофема основания или апофема боковой грани. Для перехода между ними используй прямоугольный треугольник и теорему Пифагора. Чтобы найти площадь боковой поверхности, сначала определи периметр основания и апофему пирамиды.
Задача 1. Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной 6 см, высота равна 4 см. Найдём апофему пирамиды и площадь боковой поверхности.
Ответ: апофема пирамиды — 5 см, площадь боковой поверхности — 60 см².
Задача 2. Основание правильной треугольной пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 6 см, высота пирамиды равна 4 см. Найдём апофему пирамиды и площадь боковой поверхности.
Ответ: апофема пирамиды — √19 см, площадь боковой поверхности — 9√19 см².
Задача 3. У правильной четырёхугольной пирамиды сторона основания равна 10 см, а апофема пирамиды — 13 см. Найдём высоту пирамиды и её объём.
Ответ: высота пирамиды — 12 см, объём — 400 см³.
Не считай высоту пирамиды и апофему одним отрезком. Высота перпендикулярна плоскости основания, а апофема лежит в боковой грани; путаница возникает из-за того, что обе идут от вершины. Проверь, к чему направлен отрезок: к центру основания или к середине его стороны.
Не проводи апофему к вершине основания: она опускается из вершины пирамиды на сторону основания и перпендикулярна ей. Ошибка появляется, когда апофему смешивают с боковым ребром. На схеме проверь, что конец апофемы лежит на стороне, а не в вершине многоугольника.
Не подставляй апофему основания в формулу площади боковой поверхности. Апофема основания измеряется в плоскости основания, а в формуле Sбок = ½Pl нужна высота боковой грани. Если сомневаешься, проверь обозначение l: это отрезок внутри боковой грани.
Не забывай множитель ½ и не заменяй периметр длиной одной стороны. Каждая грань имеет площадь, равную половине произведения стороны на апофему, поэтому при сложении появляется сумма всех сторон. Для проверки найди периметр целиком и убедись, что в формуле стоит ½Pl.
Для изучения правильной пирамиды нужны свойства правильного многоугольника, равнобедренного треугольника и теорема Пифагора. При вычислениях также пригодятся формулы площадей правильных многоугольников и формула объёма пирамиды V = ⅓Sоснh. Эти знания связывают геометрию плоских фигур с задачами о многогранниках в пространстве. Свойства пирамиды помогают находить площади, объёмы, углы и расстояния.
Основание правильной пирамиды — правильный многоугольник.
Высота правильной пирамиды проходит через центр основания.
Боковые рёбра правильной пирамиды равны.
Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники.
Апофема пирамиды — высота её боковой грани.
Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.
Чем апофема пирамиды отличается от её высоты?
Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания и соединяет вершину с центром основания. Апофема лежит в боковой грани и идёт от вершины пирамиды к стороне основания. Это разные отрезки.
Почему высота правильной пирамиды попадает в центр основания?
У правильного многоугольника есть центр симметрии и оси симметрии. В правильной пирамиде ось, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии фигуры. Поэтому высота опускается именно в центр основания.
Как найти апофему правильной пирамиды, если известны её высота и основание?
Найдите апофему основания — расстояние от его центра до стороны. Она, высота пирамиды и апофема пирамиды образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора апофема пирамиды равна √(h² + r²), где h — высота, r — апофема основания.
Почему все боковые грани правильной пирамиды равны?
Основания боковых граней — стороны правильного многоугольника, поэтому они равны. Боковые рёбра также равны, так как вершина равноудалена от всех вершин основания. Значит, грани равны по трём сторонам.
Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
Сложите площади всех боковых граней. Поскольку грани равны, эту сумму можно записать как половину произведения периметра основания на апофему пирамиды: Sбок = ½Pl.
50. Правильная пирамида
