"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Правильная пирамида — многогранник с правильным многоугольником в основании, вершина которого расположена над центром основания. Благодаря симметрии её боковые рёбра и грани равны, а высота, радиусы основания и апофема связаны прямоугольными треугольниками. Эти свойства помогают находить неизвестные элементы пирамиды и вычислять площадь её поверхности. Главное — различать высоту, боковое ребро и апофему и выбирать нужное сечение для расчёта.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильная пирамида — пирамида, основанием которой служит правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Это определение сразу задаёт симметрию фигуры и позволяет ожидать равенства её боковых элементов.
Высота правильной пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Его основание совпадает с центром основания. Обозначим высоту буквой h: она нужна, чтобы связывать размеры пирамиды с расстояниями в основании.
Апофема правильной пирамиды — высота боковой грани, проведённая от вершины пирамиды к стороне основания. Обычно её обозначают l; конец апофемы лежит в середине стороны. Она понадобится при вычислении площади боковой поверхности.
Боковое ребро правильной пирамиды — отрезок от вершины пирамиды до вершины основания; все такие рёбра равны. Обозначим длину бокового ребра b. Не путайте его с апофемой: ребро доходит до вершины основания, а апофема — до середины стороны.
Стороны правильного основания равны, поэтому основания боковых треугольников имеют одну длину. Вершина пирамиды находится над центром основания, а от центра до всех вершин правильного многоугольника одинаковое расстояние. Поэтому боковые рёбра равны, а каждая боковая грань определяется одинаковыми сторонами: её основанием и двумя боковыми рёбрами. Значит, боковые грани равны между собой.
Соединим вершину пирамиды с центром основания и с одной из вершин основания. Высота h перпендикулярна плоскости основания, поэтому вместе с радиусом описанной окружности R и боковым ребром b эти отрезки образуют прямоугольный треугольник. Его гипотенуза — боковое ребро, а катеты — высота и радиус. По теореме Пифагора: h² + R² = b².
Чтобы связать высоту с апофемой пирамиды, проведём сечение через вершину пирамиды, центр основания и середину стороны основания. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник: высота пирамиды h и апофема основания r — его катеты, а апофема пирамиды l — гипотенуза. Следовательно, h² + r² = l². Здесь r — расстояние от центра основания до стороны, а не до вершины многоугольника.
Апофема перпендикулярна стороне основания, потому что является высотой боковой грани, опущенной на её основание. В правильном многоугольнике центр одинаково удалён от всех сторон, а боковые грани равны. Поэтому соответствующие высоты этих граней имеют одинаковую длину: апофема одна и та же для каждой грани.
Площадь одной боковой грани равна половине произведения её основания на высоту: если сторона основания равна a, площадь грани составляет ½al. Складывая площади всех треугольных граней, мы складываем и длины всех сторон основания. Их сумма — периметр P, поэтому площадь боковой поверхности равна Sбок = ½Pl.
| Элементы | Обозначения | Связь или свойство |
|---|---|---|
| Высота, апофема основания, апофема пирамиды | h, r, l | h² + r² = l² |
| Высота, радиус описанной окружности основания, боковое ребро | h, R, b | h² + R² = b² |
| Апофема пирамиды, периметр основания, площадь боковой поверхности | l, P, Sбок | Sбок = ½Pl |
| Площадь боковой поверхности, площадь основания, полная площадь поверхности | Sбок, Sосн, Sполн | Sполн = Sбок + Sосн |
Сначала определите, какие элементы известны и какой требуется найти. Для треугольника с боковым ребром выбирайте радиус R, а для сечения к середине стороны — апофему основания r. При вычислении площадей сначала находите периметр и площадь основания, затем подставляйте их в соответствующие формулы.
Задача 1. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота — 4. Найдём апофему пирамиды. Сечение проведём через вершину и середину стороны: так в прямоугольный треугольник попадёт апофема основания, а не радиус до вершины квадрата.
Ответ: 5.
Задача 2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро — 5. Найдём высоту. В сечении через вершину, центр основания и вершину треугольника боковое ребро будет гипотенузой, поэтому нужен радиус описанной окружности основания.
Ответ: √33/3.
Задача 3. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 10, сторона основания — 6. Найдём площади боковой и полной поверхностей. Для боковой площади достаточно периметра и апофемы пирамиды, а для полной дополнительно понадобится площадь правильного шестиугольника.
Ответ: площадь боковой поверхности — 180, полная площадь поверхности — 180 + 54√3.
Считать высоту пирамиды боковым ребром неверно: высота заканчивается в центре основания, а ребро — в его вершине. Путают их, потому что оба отрезка начинаются у вершины пирамиды. Проверьте, куда именно опущен отрезок; совпадение возможно лишь в частном случае, когда центр основания является вершиной многоугольника.
Апофему нельзя принимать за боковое ребро: она лежит внутри боковой грани и оканчивается в середине стороны основания. Ошибка возникает из-за того, что оба отрезка принадлежат грани. Чтобы проверить себя, отметьте конец отрезка: вершина основания означает ребро, середина стороны — апофему.
В прямоугольном треугольнике для апофемы иногда берут радиус описанной окружности вместо апофемы основания. Причина в том, что оба радиуса проведены из центра многоугольника, но один ведёт к вершине, а другой — к стороне. Смотрите, через какую точку проходит сечение: к середине стороны нужен r, к вершине — R.
В формуле Sбок = ½Pl нужно использовать периметр основания, а не длину одной стороны, и не забывать множитель ½. Эти ошибки обычно появляются при переходе от площади одной грани к сумме площадей. Проверьте, что периметр учитывает все стороны, а результат совпадает с суммой площадей боковых треугольников.
Для работы с правильной пирамидой нужно знать элементы пирамиды, свойства правильных многоугольников, теорему Пифагора и формулы площадей. Именно свойства основания помогают определить радиусы, а теорема Пифагора связывает их с высотой, апофемой и боковыми рёбрами. Эти знания пригодятся при изучении сечений многогранников и при вычислении их площадей и объёмов.
Чем правильная пирамида отличается от обычной?
У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Поэтому все боковые рёбра и все боковые грани равны. У обычной пирамиды таких свойств может не быть.
Где находится основание высоты правильной пирамиды?
Оно совпадает с центром правильного многоугольника в основании пирамиды. Высота перпендикулярна плоскости основания.
Чем апофема пирамиды отличается от бокового ребра?
Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания. Апофема лежит в боковой грани и соединяет вершину пирамиды с серединой стороны основания, причём перпендикулярна этой стороне.
Как найти высоту пирамиды, если известны боковое ребро и основание?
Нужно найти радиус описанной окружности основания R и применить теорему Пифагора: h² + R² = b², где b — боковое ребро. Тогда h = √(b² − R²).
Почему площадь боковой поверхности вычисляют через периметр основания и апофему?
Каждая боковая грань — треугольник с высотой, равной апофеме пирамиды. Сумма площадей этих треугольников равна половине апофемы, умноженной на сумму сторон основания, то есть на его периметр.
33 Правильная пирамида
